Trigonometrija yra matematikos šaka, nagrinėjanti ryšius tarp trikampių kampų ir kraštinių. Iš esmės, tai yra įrankis, leidžiantis mums suprasti ir apskaičiuoti įvairių formų ir padėčių matmenis. Nors pavadinimas skamba sudėtingai, trigonometrijos principai yra intuityvūs ir glaudžiai susiję su mūsų aplinkos matavimu ir navigacija. Jų mokymasis yra esminis, nes jis ugdo erdvinį mąstymą, gebėjimą vizualizuoti ir spręsti problemas, susijusias su atstumais, aukščiais ir kampais, kurie yra visur aplink mus.
Trigonometrija yra gyvybiškai svarbi, nes ji leidžia mums matuoti dalykus, kurie yra nepasiekiami tiesiogiai. Ji suteikia metodus, kaip nustatyti:
- Atstumus ir aukščius: Įsivaizduokite, kad reikia išmatuoti medžio aukštį, pastato aukštį ar atstumą iki tolimo objekto. Trigonometrija leidžia tai padaryti, žinant tik kelis kampus ir atstumus iki stebėjimo taško.
- Navigaciją ir orientaciją: Jūrų laivininkystėje, aviacijoje ir net šiuolaikinėse GPS sistemose trigonometrija naudojama nustatant padėtį, kryptį ir maršrutus. Ji padeda suprasti, kaip kampai ir kryptys susijusios su realiu judėjimu erdvėje.
- Bangas ir ciklinius reiškinius: Daugelyje gamtos reiškinių, tokių kaip garso bangos, šviesos bangos ar net kintamosios srovės elektra, pasireiškia cikliškumas. Trigonometrija suteikia įrankius aprašyti ir analizuoti šiuos pasikartojančius procesus.
Trigonometrija yra ne tik sausos formulės, bet ir praktinis įrankis, leidžiantis matuoti, naviguoti ir suprasti pasaulį, kuriame gyvename. Jos mokymasis atveria duris į inžineriją, architektūrą, fiziką, astronomiją ir daugelį kitų sričių, kur tikslūs matavimai ir erdvinis suvokimas yra nepakeičiami.
TRIGONOMETRIJA
TRIGONOMETRIJA – yra matematikos mokymo programos “OKTAEDRAS“ vienas iš skyrių. Plačiau apie programą spauskite čia –>
Žemiau yra išvardintos šio skyriaus temos. Jei tema priklauso mokykliniam kursui ji pažymėta raide “M“, jei išeina už mokyklinio kurso ribų, raide “S“.
Pamokų metu taip pat nagrinėjami šio skyriaus uždaviniai, kurie buvo PUPP ir VBE. Į NMPP šis skyrius nėra įtrauktas.
TRIGONOMETRIJA STAČIAJAME TRIKAMPYJE – (I KLASĖ)
TRIGONOMETRIJA VIENETINIAME APSKRITIME – (II KLASĖ)
TRIGONOMETRIJA ĮVAIRIAKRAŠČIAME TRIKAMPYJE – (II KLASĖ)
TRIGONOMETRINIAI REIŠKINIAI – (III KLASĖ)
21M – TO PATIES ARGUMENTO TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ SĄRYŠIAI
22M – TRIGONOMETRINIŲ REIŠKINIŲ PRASTINIMAS REMIANTIS SAVYBĖMIS
23M – TRIGONOMETRINIŲ REIŠKINIŲ ŽENKLO NUSTATYMAS | APSKAIČIAVIMAS
24M – TRIGONOMETRINIŲ REIŠKINIŲ APIBRĖŽIMO IR REIKŠMIŲ SRITIS
25M – IŠ VIENOS TRIGONOMETINĖS FUNKCIJOS GAVIMAS KITOS
26M – REIŠKINIO REIKŠMĖS RADIMAS, KAI DUOTA LYGTIS
27M – TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ ARGUMENTŲ SUMOS IR SKIRTUMO FORMULĖS
28M – REDUKCIJA | PERIODO “ATMETIMAS“
29M – ARCSIN(X), ARCCOS(X), ARCTG(X)
30M – SUDĖTINGESNI ATVIRKŠTINIŲ FUNKCIJŲ ATVEJAI
31M – DVIGUBO ARGUMENTO TRIGONOMETRINIŲ FUNKCIJŲ FORMULĖS
32M – LAIPSNIO ŽEMINIMO FORMULĖS
33M – TRIGONOMETRINIŲ TAPATYBIŲ ĮRODYMAS
TRIGONOMETRINĖS LYGTYS – (IV KLASĖ)
37M – SIN(x)=a; COS(x)=a; TG(x)=a; CTG(x)=a
38M – LYGČIŲ SPRENDIMAS TAIKANT REDUKCIJOS FORMULES
39M – TAIKANT ARGUMENTO SUMOS IR SKIRTUMO FORMULES
40M – TAIKANT FUNKCIJŲ SUMOS IR SKIRTUMO FORMULES
41M – LYGČIŲ SPRENDIMAS SKAIDANT DAUGINAMAISIAIS
42M – LYGČIŲ SPRENDIMAS ĮVEDANT NAUJĄ KINTAMĄJĮ
43M – HOMOGENINĖS LYGTYS SIN(x) IR COS(x) ATŽVILGIU
44M – KITI SVARBŪS SPRENDIMO BŪDAI
45M – 4 KLAUSIMAI, KURIŲ DAR YRA KLAUSIAMA VBE IR KONTROLINIO METU
TRIGONOMETRINĖS NELYGYBĖS – (IV KLASĖ)
TRIGONOMETRINĖS FUNKCIJOS – (III KLASĖ)
50M – SINUSO FUNKCIJA – SINUSOIDĖ
51M – KOSINUSO FUNKCIJA – KOSINUSOIDĖ
52M – TANGENTO FUNKCIJA – TANGENTOIDĖ
53M – KOTANGENTO FUNKCIJA – KOTANGENTOIDĖ
54M – ATVIRKŠTINĖ TRIGONOMETRINĖ FUNKCIJA – ARCSIN(x)
55M – ATVIRKŠTINĖ TRIGONOMETRINĖ FUNKCIJA – ARCCOS(x)
TRIGONOMETRIJA KITOSE TEMOSE
Šios temos yra mokoma Lietuvos mokyklose:
I gimnazijos klasė | GEOMETRIJA IR MATAVIMAI | FIGŪROS
Įvadas į trigonometriją. Apibrėžiami sinusas, kosinusas ir tangentas stačiajame trikampyje. Apskaičiuojant panašiųjų trikampių tam tikrų kraštinių ilgių santykius, įsitikinama, kad jų reikšmės nepriklauso nuo trikampio dydžio. Įrodomos lygybės sin^2(𝛼)+cos^2(𝛼)=1, tg𝛼= sin𝛼/cos𝛼 ir sudaroma kampų 30°,45°,60°30°,45°,60° trigonometrinių reikšmių lentelė. Mokomasi skaičiuotuvu apskaičiuoti tikslias ir apytiksles smailiojo kampo sinuso, kosinuso, tangento reikšmes. Sprendžiami įvairūs uždaviniai, kai taikomi sinuso, kosinuso, tangento stačiajame trikampyje apibrėžimai (pavyzdžiui, nustatyti objekto aukštį, rasti kelio nuolydį ar lėktuvo pakilimo kampą, apskaičiuoti atstumą iki neprieinamos vietos ir pan.).
II gimnazijos klasė | GEOMETRIJA IR MATAVIMAI | FIGŪROS
Įvadas į trigonometriją. Apibrėžiamas vienetinis apskritimas ir posūkio kampas, posūkio kampo sinusas, kosinusas, tangentas, kai 𝛼∈(0°;180°). Išsiaiškinama, kaip apskaičiuojamos 120°, 135°, 150° kampų sinuso ir kosinuso reikšmės. Apibendrinama, kaip apskaičiuojamos bet kokio smailiojo ar bukojo kampo sinuso, kosinuso reikšmės ir įrodomos formulės: sin(180°–𝛼)=sin𝛼, cos(180°–𝛼)=–cos𝛼. Įrodoma trikampio ploto formulė 𝑆= 0,5𝑎𝑏sin𝐶, kosinusų teorema, sinusų teorema, mokomasi jas taikyti nežinomiems trikampio elementams rasti. Pagrindžiamas sinusų teoremos ir apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulio ilgio sąryšis. Praktikuojamasi taikyti šias teoremas, sprendžiant trikampių uždavinius.
III gimnazijos klasė | SKAIČIAI IR SKAIČIAVIMAI | SINUSAS, KOSINUSAS IR TANGENTAS
Apibrėžiamas vienetinio apskritimo posūkio kampas, jo sinusas, kosinusas ir tangentas. Aiškinamasi, kad kampų dydžiai gali būti reiškiami ne tik laipsnių skaičiumi, bet ir radianų skaičiumi. Mokomasi laipsnių skaičių keisti radianų skaičiumi ir atvirkščiai – radianų skaičių keisti laipsnių skaičiumi. Praktikuojamasi, naudojantis vienetiniu apskritimu, apskaičiuoti tikslias sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes, kai posūkio kampas lygus ±0°, ±30°, ±45°, ±60°, ±90°, ±120°, ±135°, ±150°, ±180°, ±210°, ±225°, ±240°, ±270°, ±300°, ±315°, ±330°, ±345°, ±360°. Tuo pačiu metodu parodoma, kad skaičiai sin𝛼 ir cos𝛼 turi prasmę su visoms 𝛼 realiosioms reikšmėms, kodėl sin𝛼sinα ir cosα reikšmės kas 360° kartojasi ir visuomet priklauso intervalui [-1:1]. Aptariama, kodėl tangento tgα reikšmės yra intervalo (−∞;+∞) skaičiai ir kodėl jos kartojasi kas 180°. Įrodomos formulės: sin(−𝛼)=−sin𝛼, cos(−𝛼)=cos𝛼, tg(−𝛼)=−tg𝛼sin(−α)=−sinα, cos(−α)=cosα, tg(−α)=−tgα, sin(𝛼+2𝜋𝑘)=sin𝛼, cos(𝛼+2𝜋𝑘)=cos𝛼, tg(𝛼+𝜋𝑘)=tg𝛼,𝑘∈𝑍.sin(α+2πk)=sinα, cos(α+2πk)=cosα, k∈Z. Mokomasi šias formules taikyti, apskaičiuojant skaitines reikšmes. Apibrėžiami skaičiai arcsin a ir arccos a, pagrindžiant, kodėl arcsin a∈[−2π;2π], arccos 𝑎∈[0;𝜋], o arksinusas ir arkkosinusas turi prasmę tik intervale [-1:1]. Apibrėžiamas skaičius arctg a, pagrindžiant, kodėl arctg 𝑎∈(−𝜋/2;𝜋/2), o arktangentas turi prasmę visoje realiųjų skaičių aibėje. Praktikuojamasi apskaičiuoti tikslias ir apytiksles sinuso, kosinuso, tangento ir arksinuso, arkkosinuso, arktangento reikšmes.
III gimnazijos klasė | MODELIAI IR SĄRYŠIAI | TRIGONOMETRINĖS FUNKCIJOS
Nagrinėjamos pagrindinės trigonometrinės funkcijos 𝑓(𝑥)=sin𝑥, 𝑓(𝑥)=cos𝑥,𝑓(𝑥)=tg𝑥. Braižomi sinusoidės, kosinusoidės ir tangentoidės grafikų eskizai. Mokomasi rasti funkcijos apibrėžimo, reikšmių sritis, vaizduoti funkcijos grafiko eskizą, nustatyti funkcijos lyginumą, nustatyti funkcijos mažiausiąjį teigiamąjį periodą, rasti funkcijos nulius, rasti funkcijos didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmes visoje apibrėžimo srityje ir nurodytame uždarame apibrėžimo srities intervale. Rasti funkcijos apibrėžimo srities reikšmes, kurioms esant funkcijos reikšmės didėja ar mažėja, yra teigiamos ar neigiamos. Mokomasi nustatyti funkcijos savybes. Mokomasi grafiškai spręsti lygtis.
IV gimnazijos klasė | MODELIAI IR SĄRYŠIAI | TRIGONOMETRINĖS LYGTYS IR NELYGYBĖS
Išsivedamos trigonometrinės formulės. Naudojantis trigonometrinėmis formulėmis, mokoma(si) tapačiai pertvarkyti trigonometrinius reiškinius. Nagrinėjami situacijų, kai sudaromos ir sprendžiamos trigonometrinės lygtys, pavyzdžiai. Pateikiamos ir aptariamos lygčių sprendinių formulės ir mokomasi jomis naudotis, algebriškai sprendžiant lygtis. Mokoma(si) rasti sprendinius trigonometrinių nelygybių. Praktikuojamasi rasti trigonometrinės lygties sprendinius nurodytame intervale.
IV gimnazijos klasė | MODELIAI IR SĄRYŠIAI | IŠVESTINĖ IR INTEGRALAS
Skaičiuojamos trigonometrinių funkcijų išvestinės ir randamos jų pirmykštės funkcijos.
Visą medžiagą parengė matematikos korepetitorius – Nerijus Simanavičius
Matematikos pamokos 