Žemiau yra pateikiama glausta informacija apie Valstybinį Brandos Egzaminą (VBE) – antrąją jo dalį.
VBE (II dalis) trukmė ir data – 240min. Egzamino pirmoji dalis vyks 2026 metais Birželio 5d. (9h). Perlaikymas vykdomas tais pačiais metais per pakartotinę sesiją.
VBE (II dalis) vykdymo būdas ir svarba – tradicinis. VBE II dalies vertė yra 60% galutinio egzamino įvertinimo.
VBE (II dalis) visų galimų taškų suma – 60 taškų. Užduotį sudaro dvi dalys. I dalis – 10 trumpojo atsakymo uždavinių ir (ar) klausimų, kurių teisingas atsakymas vertinamas 1 tašku. Trumpojo atsakymo uždaviniuose ir (ar) klausimuose reikia įrašyti uždavinio ir (ar) klausimo atsakymą (skaičių, kelis skaičius, raidę, žodį ir pan.). I dalies taškų suma – 10.
II dalis – 7–10 pilno sprendimo uždavinių ir (ar) klausimų, iš kurių 5–8 struktūruoti uždaviniai ir (ar) klausimai (iš viso 12–18 struktūrinių dalių) ir 2–5 nestruktūruoti uždaviniai ir (ar) klausimai. II dalies taškų suma – 50. Užduočių vertinimas centralizuotas. Vertina vertintojai elektroninėje vertinimo sistemoje.
Kiek reikia surinkti balų, kad išlaikyti egzaminą? Egzamino išlaikymo riba bus 35 balai iš 100. Egzamino išlaikymo riba anksčiau buvo 16 proc. iš 100, arba 10 taškų iš 60 užduoties taškų.
Uždavinių procentinis kiekis pagal žinių lygį: Slenkstinis – 35 proc., patenkinamas – 15 proc., pagrindinis – 35 proc., aukštesnysis – 15 proc.
VBE (II dalies) pavyzdžiai: bus paskelbti orientaciniai pavyzdžiai artimiausiu metu.
Pavyzdinė užduotis, buvusios užduotys (atsidariusio puslapio apačioje).
VBE (II dalį) sudarančios temos: Ši medžiaga dar bus patikslinta, tačiau preliminariai bus sudaryta iš IV gimnazijos klasės kurso (atskirai A ir B lygiams).
Galima naudotis asmeniniu skaičiuotuvu be tekstinės atminties, t. y. tokiu skaičiuotuvu, kurio klaviatūra neturi viso lotyniškojo raidyno, o skaičiuotuvo ekrane gali būti matomos viena arba dvi eilutės, iš kurių viena skirta veiksmui užrašyti, kita – atsakymui pateikti.
Kokį skaičiuotuvą įsigyti moksleiviui, bei skaičiuotuvų sąrašas, kuriuos galima neštis į VBE
VBE (II dalis) formulių lapas – B (bendrasis) lygis: Parsisiųsti VBE (II dalies) formulių lapą galite paspaudę mygtuką žemiau:
VBE (II dalis) formulių lapas – A (išplėstinis) lygis: Parsisiųsti VBE (II dalies) formulių lapą galite paspaudę mygtuką žemiau:
Žemiau pateikiama VBE II dalies medžiaga B lygyje (bendrasis kursas)
1. MODELIAI IR SĄRYŠIAI
1.1 Trigonometrinės lygtys
1.2 Funkcijos išvestinė
Išsiaiškinama, ką vadiname funkcijos argumento pokyčiu ir funkcijos reikšmės pokyčiu. Šių pokyčių santykis ∆𝑦/∆𝑥 susiejamas su tiesės 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 krypties koeficientu k ir paaiškinama, kaip su juo susijęs funkcijos reikšmių kitimas. Apibrėžiama (tolydžios) funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥) grafiko liestinės, einančios per nurodytą tašką, sąvoka, paaiškinama, kaip nubrėžtos per grafiko tašką (𝑎;𝑓(𝑎)) liestinė apibūdina funkcijos reikšmių kitimą tame taške (geometrinė išvestinės prasmė). Pateikiamas funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥) išvestinės taške, kurio 𝑥=𝑎 ryšys su tame taške nubrėžtos funkcijos grafiko liestinės krypties koeficientu (𝑘=𝑓′(𝑎)). Formuluojamas funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥) išvestinės taške 𝑥=𝑎 apibrėžimas, išvestinės funkcijos 𝑦=𝑓′(𝑥) apibrėžimas. Naudojantis funkcijos išvestinės apibrėžimu, mokomasi rasti pastoviosios, tiesinės ir kvadratinės funkcijų išvestines. Be įrodymo pateikiama laipsninės funkcijos išvestinės radimo taisyklė ir taisyklės, kuriomis naudojantis galima apskaičiuoti išvestines. Mokomasi apskaičiuoti funkcijos išvestinės reikšmę duotame taške, spręsti lygtį 𝑓′(𝑥)=𝑎. Nagrinėjant konkrečius pavyzdžius, aptariama fizikinė išvestinės prasmė.
Funkcijos savybių tyrimas, naudojantis išvestine. Apibrėžiamos sąvokos: funkcijos kritiniai, ekstremumo (minimumo ir maksimumo) taškai. Išsiaiškinama, kodėl ir kaip, naudojantis išvestine, galima surasti funkcijos reikšmių didėjimo ir mažėjimo intervalus, funkcijos ekstremumus, didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmes uždarame intervale. Tiriamos funkcijų, išreiškiamų ne aukštesnio negu trečiojo laipsnio daugianariu, savybės, braižomi jų grafikų eskizai. Praktikuojamasi taikyti išvestines, sprendžiant optimizavimo uždavinius.
2. GEOMETRIJA IR MATAVIMAI
2.1 Tiesės, plokštumos, kampai erdvėje
Mokomasi aksiomų: per bet kuriuos du taškus eina vienintelė tiesė; per bet kuriuos tris taškus, nesančius vienoje tiesėje, eina vienintelė plokštuma; jei du tiesės taškai priklauso plokštumai, tai ir tiesė priklauso plokštumai; jei dvi plokštumos turi bendrą tašką, tai jos turi ir bendrą tiesę, kurioje yra visi bendrieji tų plokštumų taškai. Aptariamos teoremas: per tiesę ir jai nepriklausantį tašką eina vienintelė plokštuma; per dvi susikertančias tieses eina vienintelė plokštuma; per dvi lygiagrečias tieses eina vienintelė plokštuma. Mokomasi taikyti šias teoremas. Tyrinėjama ir apibrėžiama, kokios gali būti tiesės ir plokštumos, dviejų plokštumų tarpusavio padėtys.
Nagrinėjami atstumai ir kampai erdvėje: atstumas tarp dviejų taškų, tarp taško ir tiesės, taško ir plokštumos, dviejų lygiagrečių tiesių, tiesės ir su ja lygiagrečios plokštumos, dviejų lygiagrečių plokštumų; kampai tarp susikertančių ir tarp prasilenkiančių tiesių, tarp tiesės ir plokštumos. Apibrėžiamas dvisienis kampas, mokomasi jį rasti ar pavaizduoti brėžinyje, modelyje.
Apibrėžiama, kokia tiesė vadinama statmeniu plokštumai, įrodomas tiesės ir plokštumos statmenumo požymis. Apibrėžiama pasviroji plokštumai ir jos statmenoji projekcija plokštumoje. Įrodomas tiesės ir plokštumos lygiagretumo požymis. Mokoma(si) šias žinias taikyti, nagrinėjant paprasčiausias realias situacijas, sprendžiant paprasčiausius uždavinius.
2.2 Briaunainiai ir sukiniai
Apibrėžiamos sąvokos: sukinys, briaunainis. Mokomasi atpažinti erdvines figūras: stačiąsias prizmes, piramides, ritinius, kūgius ir rutulius. Išsiaiškinama, kaip brėžinyje tinkamai pavaizduoti taisyklingosios keturkampės prizmės įstrižinį pjūvį, taisyklingosios keturkampės piramidės įstrižinį pjūvį, ritinio ir kūgio ašinius pjūvius. Sprendžiami su pjūvio plotu, su erdvės figūrų paviršiaus plotu ir tūriu susiję uždaviniai. Susipažįstama su taisyklingųjų briaunainių, sukinių pasireiškimo gamtoje ir žmogaus veikloje pavyzdžiais.
3. DUOMENYS IR TIKIMYBĖS
3.1 Įvadas į statistinę duomenų analizę
3.2 Tikimybės ir interpretavimas
Sprendžiant uždavinius, taikoma tikimybės apibrėžimas ir tikimybių savybės: būtinojo įvykio tikimybė P(būtinojo) = 1, negalimojo įvykio
P(negalimojo) = 0, vienas kitam priešingų įvykių tikimybių suma lygi vienetui. Nagrinėjami paprasčiausi dviejų trijų etapų bandymai (stochastiniai bandymai) ir su jo etapais susiję nepriklausomi ar priklausomi įvykiai (negrąžintinio ir grąžintinio ėmimo atvejai). Braižomi tikimybių medžiai ir analizuojami su bandymu susiję nesutaikomi įvykiai, mokomasi be formulių apskaičiuoti įvykių „A arba B“, „A ir B“ tikimybes, atkreipiamas dėmesys į jungtukų „ir“ bei „arba“ esmę. Aptariama, kokie bandymo (stochastinio bandymo) įvykiai vadinami elementariais, o kokie – sudėtiniais. Mokomasi atpažinti ir formuluoti su bandymu susijusius sudėtinius įvykius, apskaičiuoti jų tikimybes. Nagrinėjant pavyzdžius, aptariama, kokie įvykiai vadinami nesutaikomais, sutaikomais. Mokomasi tokiems įvykiams palankias baigtis pavaizduoti Veno diagramomis, galimybių medžiais, galimybių lentelėmis. Praktikuojamasi apskaičiuoti įvykių tikimybes.
Žemiau pateikiama VBE II dalies medžiaga A lygyje (išplėstinis kursas)
1. MODELIAI IR SĄRYŠIAI
1.1 Trigonometrinės lygtys ir nelygybės
1.2 Funkcijos išvestinė
Analizuojama tolydžiosios funkcijos visuose funkcijos apibrėžimo srities intervaluose samprata. Formuluojami teiginiai apie tolydžių funkcijų sumos (skirtumo), sandaugos ir dalmens tolydumą. Apibrėžiama tolydžios funkcijos ribos samprata, kai funkcijos argumento reikšmės artėja prie duotosios reikšmės ir kai funkcijos argumento reikšmės tolsta į begalybę (±∞). Formuluojamos ir aiškinamos funkcijų ribų skaičiavimo taisyklės (ribų savybės): funkcijų sumos (skirtumo), sandaugos ir dalmens; funkcijos nepriklausomojo kintamojo (argumento) pokytis ir priklausomojo kintamojo (funkcijos reikšmės) pokytis bei šių pokyčių santykis; tolydžios funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥) grafiko liestinės, nubrėžtos per grafiko tašką (𝑎;𝑓(𝑎)), sąvoka. Pateikiamas funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥) išvestinės taške 𝑥=𝑎 apibrėžimas; išvestinės funkcijos 𝑦=𝑓′(𝑥) apibrėžimas; grafiko liestinės (𝑦=𝑘𝑥+𝑏), einančios per grafiko tašką, kuriame 𝑥=𝑎, krypties koeficiento ir funkcijos išvestinės taške 𝑥=𝑎 ryšys (𝑘=𝑓′(𝑎)); išvedama liestinės lygtis. Naudojantis funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥) išvestinės funkcijos 𝑦=𝑓′(𝑥) apibrėžimu, mokomasi rasti tiesinės 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑏 ir kvadratinės 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐 funkcijų išvestines ir funkcijos grafiko liestinių, nubrėžtų per grafiko tašką (𝑎;𝑓(𝑎)), lygtis. Nagrinėjant judėjimus (pastoviu greičiu ir su pagreičiu), aptariama funkcijos išvestinės fizikinė prasmė.
Naudojantis funkcijos išvestinės apibrėžimu, įsitikinama, kad skaičiaus (konstantos) išvestinė lygi 0, t. y. 𝑐′=0. Skaičiaus ir funkcijos sandaugos išvestinė lygi skaičiaus ir funkcijos išvestinės sandaugai, t. y. (𝑐⋅𝑓(𝑥))′=𝑐⋅𝑓′(𝑥). Funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė lygi funkcijų išvestinių sumai (skirtumui), t. y. (𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥))′=𝑓′(𝑥)±𝑔′(𝑥). Funkcijų sandaugos išvestinė: (𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥))′=𝑓′(𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑔′(𝑥)⋅𝑓(𝑥). Funkcijų dalmens išvestinė lygi (𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥))′=(𝑓′(𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑔′(𝑥)⋅𝑓(𝑥))/𝑔^2(𝑥). Sudėtinės funkcijos išvestinė lygi (𝑓(𝑔(𝑥)))′=𝑓′(𝑔(𝑥))⋅𝑔′(𝑥). (Ši formulė pateikiama be įrodymo.) Laipsnio išvestinė. Eksponentinės funkcijos išvestinė. Rodiklinės funkcijos išvestinė. Natūraliojo logaritmo funkcijos išvestinė. Logaritminės funkcijos išvestinė. Nagrinėjama riba lim𝑥→0(sin𝑥/𝑥)=1 ir įsitikinama, kad (sin 𝑥)′=cos 𝑥, (cos 𝑥)′=−sin 𝑥,(tg 𝑥)′=1/cos^2𝑥. Naudojantis išvestinių skaičiavimo taisyklėmis ir formulėmis, mokomasi apskaičiuoti įvairių reiškinių ir funkcijų išvestines.
Funkcijos savybių tyrimas, naudojantis išvestine. Apibrėžiamos sąvokos: kritinis taškas, ekstremumo taškas, funkcijos ekstremumas, grafiko kritinis taškas, grafiko ekstremumo taškas. Mokomasi, naudojantis funkcijos išvestine, apskaičiuoti funkcijos didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmes uždarame intervale. Braižomas ne aukštesnio kaip ketvirtojo laipsnio funkcijos grafiko (𝑦=𝑎𝑥^4+𝑏𝑥^3+𝑐𝑥^2+𝑑𝑥+𝑒) 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒∈𝑅) eskizas. Apibrėžiamos sąvokos: funkcijos argumento diferencialas, funkcijos diferencialas. Naudojantis išvestine, sprendžiami optimizavimo uždaviniai.
1.3 Pirmykštė funkcija ir integralas
Neapibrėžtinis integralas. Apibrėžiama funkcijos pirmykštė funkcija. Paaiškinama, kad funkcija turi be galo daug pirmykščių funkcijų, o visa jų šeima užrašoma neapibrėžtinio integralo ženklu. Įrodomos pirmykščių funkcijų savybės (funkcijų sumos pirmykštės funkcijos, konstantos ir funkcijos sandaugos pirmykštės, 𝑓(𝑎𝑥+𝑏) pirmykštės funkcijos formulės). Mokomasi jomis naudotis.
Apibrėžtinis integralas. Apibrėžiama kreivinės trapecijos (figūros koordinačių plokštumoje, apribotos iš viršaus neneigiamos funkcijos grafiku intervale [𝑎;𝑏], abscisių ašimi ir tiesėmis 𝑥=𝑎,𝑥=𝑏) sąvoka. Aiškinamasi, kad kreivinės trapecijos plotas nedaug skiriasi nuo ploto figūros, kuri sudaryta iš stačiakampių, kurių pagrindai yra intervalai, gauti padalijus intervalą [𝑎;𝑏] į daug lygių dalių, o kitų kraštinių ilgiai lygūs funkcijos reikšmėms dalijimo taškuose. Sudaromas šios figūros ploto reiškinys (integralinė suma), aiškinamasi, kad intervalų skaičiui augant, šių reiškinių reikšmės artėja prie skaičiaus, kuris vadinamas funkcijos apibrėžtiniu integralu intervale [𝑎;𝑏]. Jo reikšmė yra kreivinės trapecijos plotas. Paaiškinama, kad integralines sumas galima sudaryti ir nebūtinai neneigiamoms tolydžioms funkcijoms. Ribinė jų reikšmė vadinama funkcijos apibrėžtiniu integralu intervale [𝑎;𝑏]. Pateikiamos ir paaiškinamos apibrėžtinio integralo savybės.
Integralų taikymai. Pateikiama ir paaiškinama Niutono-Leibnico formulė ir mokomasi ją taikyti, sprendžiant uždavinius, susijusius su kreivinių trapecijų plotais. Pateikiama formulė, kuri naudojama, skaičiuojant sukinio tūrį, gauto sukant kreivę apie 𝑂𝑥 ašį. Sprendžiami įvairaus konteksto integralų taikymo uždaviniai.
2. GEOMETRIJA IR MATAVIMAI
2.1 Tiesės, plokštumos, kampai erdvėje
Mokomasi stereometrijos aksiomų: per bet kuriuos du taškus eina vienintelė tiesė; per bet kuriuos tris taškus, nesančius vienoje tiesėje, eina vienintelė plokštuma; jei du tiesės taškai priklauso plokštumai, tai ir tiesė priklauso plokštumai; jei dvi plokštumos turi bendrą tašką, tai jos turi ir bendrą tiesę, kurioje yra visi bendrieji tų plokštumų taškai. Mokomasi įrodyti teoremas: per tiesę ir jai nepriklausantį tašką eina vienintelė plokštuma; per dvi susikertančias tieses eina vienintelė plokštuma; per dvi lygiagrečias tieses eina vienintelė plokštuma. Aptariamos erdvės tiesių ir plokštumų tarpusavio padėtys: erdvės tiesės gali sutapti, kirstis, būti lygiagrečios, prasilenkiančios; plokštumos gali sutapti, būti lygiagrečios, susikertančios; plokštuma ir tiesė gali būti lygiagrečios, tiesė gali kirsti plokštumą, priklausyti plokštumai. Nagrinėjami atstumai ir kampai erdvėje: atstumai tarp dviejų taškų, taško ir tiesės, taško ir plokštumos, dviejų lygiagrečių ir prasilenkiančių tiesių, tiesės ir su ja lygiagrečios plokštumos, dviejų lygiagrečių plokštumų; kampai tarp susikertančių ir tarp prasilenkiančių tiesių, tarp tiesės ir plokštumos. Apibrėžiamas dvisienis kampas, mokomasi jį rasti bei pavaizduoti brėžinyje. Apibrėžiama, kokia tiesė vadinama statmeniu plokštumai, įrodomas tiesės ir plokštumos statmenumo požymis. Apibrėžiama pasviroji plokštumai ir jos statmenoji projekcija plokštumoje. Įrodomas tiesės ir plokštumos lygiagretumo požymis. Įrodomos trijų statmenų ir jai atvirkštinė teoremos. Nagrinėjami ir braižomi stereometrijos brėžiniai bei sprendžiami įvairūs uždaviniai.
2.2 Briaunainiai ir sukiniai
Klasifikuojami erdviniai kūnai. Briaunainiai: stačiosios prizmės; piramidės (netaisyklingosios ir taisyklingosios), nupjautinės piramidės. Sukiniai: ritiniai, kūgiai, nupjautiniai kūgiai, sferos, rutuliai ir rutulių nuopjovos. Mokomasi šiuos erdvinius kūnus vaizduoti ir atpažinti. Apibrėžiamos su erdviniais kūnais susijusios sąvokos: šoninis ir visas paviršius, pagrindas, aukštinė, apotema, sudaromoji, gretasienio įstrižainė; sukinių ašiniai pjūviai, kūgio, ritinio, piramidės pjūviai plokštumomis, lygiagrečiomis su pagrindais; taisyklingosios piramidės pjūviai, einantys per piramidės aukštinę; rutulio pjūviai; gretasienio pjūviai, einantys per gretasienio priešingas briaunas. Mokomasi apskaičiuoti erdvinių kūnų paviršių plotus ir tūrius, jų pjūvių plotus, perimetrus ir atskirus elementus. Sprendžiami įvairūs su briaunainiais ir sukiniais susiję uždaviniai.
3. DUOMENYS IR TIKIMYBĖS
3.1 Įvadas į statistinę duomenų analizę
3.2 Rinkiniai, kėliniai, deriniai, gretiniai
3.3 Klasikiniai ir neklasikiniai tikimybiniai modeliai
Analizuojama, kuo tikimybių teorija yra reikšminga kasdieniame gyvenime. Plėtojama medžiaga, susijusi su klasikiniais (kai visų bandymo baigčių tikimybės yra vienodos) ir neklasikiniais (kai ne visų bandymo baigčių tikimybės yra vienodos) tikimybiniais bandymais. Analizuojamos sąvokos: klasikinis ir neklasikinis tikimybiniai bandymai, bandymo baigtis (elementarusis įvykis), bandymo įvykis, įvykiui palankios ar nepalankios baigtys, būtinasis įvykis, negalimasis įvykis, nesutaikomieji įvykiai, sutaikomieji įvykiai, nepriklausomieji įvykiai, priklausomieji įvykiai, bandymo baigties ar įvykio tikimybė, tikimybių savybės, Bernulio (binominiai) bandymai. Mokomasi pagrįsti pavyzdžiais ir įrodyti tikimybių savybes: būtinojo įvykio, negalimojo įvykio, vienas kitam priešingųjų įvykių, visų elementariųjų įvykių sumos, nesutaikomųjų įvykių, nepriklausomųjų įvykių, sutaikomųjų įvykių. Sprendžiant uždavinius, mokomasi apskaičiuoti: bandymo baigties ar įvykio tikimybę, ją nurodyti intervalo [0;1] skaičiumi ir procentais; tikimybę, kad atliekant bandymą įvyks kuris nors iš dviejų nesutaikomųjų įvykių; tikimybę, kad atliekant bandymą įvyks abu tarpusavyje nepriklausomieji įvykiai; tikimybę, kad atliekant bandymą įvyks kuris nors iš dviejų sutaikomųjų įvykių; su Bernulio bandymais susijusias tikimybes.
3.4 Atsitiktiniai dydžiai
Įvedamos atsitiktinio dydžio ir jo skirstinio sąvokos; pateikiama atsitiktinių dydžių ir jų skirstinių pavyzdžių. Mokomasi sudaryti atsitiktinio dydžio skirstinio lentelę, apskaičiuoti jo matematinę viltį (atsitiktinio dydžio vidurkį), standartinį nuokrypį ir dispersiją. Analizuojamos šios skaitinės charakteristikos. Aptariama, kaip grafiškai atrodo normalusis (Gauso) skirstinys, kokios savybės jam būdingos. Nagrinėjami realių atsitiktinių dydžių, kurių skirstinys yra normalusis, pavyzdžiai.
Kontroliniai darbai –> suskirstyta pagal temas.
Matematikos pamokos 