Žemiau yra pateikiama glausta informacija apie Valstybinį Brandos Egzaminą (VBE) – pirmąją jo dalį.
VBE (I dalis) trukmė ir data – 120min. Egzamino pirmoji dalis vyks 2026 metais Gegužės 30d. (9h). Perlaikymas vykdomas tais pačiais metais per pakartotinę sesiją (tiksli data dar nėra aiški).
VBE (I dalis) vykdymo būdas ir svarba – elektroninis. VBE I dalis vertė yra 40% galutinio egzamino įvertinimo.
VBE (I dalis) visų galimų taškų suma – 40 taškų. Šią dalį sudaro uždaviniai vertinami 1 arba 2 taškais. Uždaviniai ir (ar) klausimai yra pasirenkamojo atsakymo (20 taškų) ir trumpojo atsakymo (20 taškų). Pasirenkamojo atsakymo uždaviniai ir (ar) klausimai gali būti: pateiktų atsakymų pasirinkimo (su vienu ar keliais teisingais atsakymais); pateiktų atsakymų porų susiejimo; pateiktų objektų eiliškumo nustatymo; objektų įkėlimo iš pateikto objektų sąrašo; elementų pažymėjimo pateiktoje vizualizacijoje (paveiksle, brėžinyje, diagramoje, schemoje, lentelėje). Trumpojo atsakymo uždaviniuose ir (ar) klausimuose pateikiamas atsakymo laukas, kuriame reikia įrašyti uždavinio atsakymą (skaičių, kelis skaičius, raidę, žodį ir pan.). Atliktos užduotys vertinamos automatiškai elektroninėje užduoties atlikimo (testavimo) sistemoje.
Kiek reikia surinkti balų, kad išlaikyti egzaminą? Egzamino išlaikymo riba bus 35 balai iš 100. Egzamino išlaikymo riba anksčiau buvo 16 proc. iš 100, arba 10 taškų iš 60 užduoties taškų.
Uždavinių procentinis kiekis pagal žinių lygį: Slenkstinis – 35 proc., patenkinamas – 15 proc., pagrindinis – 35 proc., aukštesnysis – 15 proc.
VBE (I dalis) pavyzdžiai:
Pavyzdinė užduotis, buvusios užduotys (atsidariusio puslapio apačioje).
VBE (I dalį) sudarančios temos: Ši medžiaga dar bus patikslinta, tačiau preliminariai bus sudaryta iš III gimnazijos klasės kurso (atskirai A ir B lygiams).
Galima naudotis asmeniniu skaičiuotuvu be tekstinės atminties, t. y. tokiu skaičiuotuvu, kurio klaviatūra neturi viso lotyniškojo raidyno, o skaičiuotuvo ekrane gali būti matomos viena arba dvi eilutės, iš kurių viena skirta veiksmui užrašyti, kita – atsakymui pateikti.
Kokį skaičiuotuvą įsigyti moksleiviui, bei skaičiuotuvų sąrašas, kuriuos galima neštis į VBE
VBE (I dalis) formulių lapas – B (bendrasis) lygis: Parsisiųsti VBE (I dalies) formulių lapą galite paspaudę mygtuką žemiau:
VBE (I dalis) formulių lapas – A (išplėstinis) lygis: Parsisiųsti VBE (I dalies) formulių lapą galite paspaudę mygtuką žemiau:
Žemiau pateikiama VBE I dalies medžiaga B lygyje (bendrasis kursas)
1. SKAIČIAI, VEIKSMAI, REIŠKINIAI
Veiksmai su skaičių aibėmis. Nagrinėjama realiųjų skaičių aibės struktūra. Apibrėžiama aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas. Atliekami veiksmai su aibėmis. Praktikuojamasi veiksmus su aibėmis vaizduoti Veno diagramomis.
1.2 Realiojo skaičiaus modulis
Skaičiaus modulis. Apibrėžiama realiojo skaičiaus modulio sąvoka, paaiškinama jo geometrinė prasmė. Pavyzdžiais pagrindžiamos modulio (ir veiksmų su moduliais) savybės: ∣−𝑎∣=∣𝑎∣, ∣𝑎∣^2=𝑎^2, ∣𝑎−𝑏∣=∣𝑏−𝑎∣, ∣𝑎⋅𝑏∣=∣𝑎∣⋅∣𝑏∣, ∣𝑎∶𝑏∣=∣𝑎∣∶∣𝑏∣. Mokomasi apskaičiuoti skaitinių reiškinių su moduliais reikšmes, traukti kvadratinę šaknį iš antrojo laipsnio: sqrt(𝑎^2)=∣𝑎∣.
Paklaidos. Apibrėžiamos sąvokos: skaičiaus artinys, absoliučioji artinio paklaida. Sprendžiami apytikslio skaičiavimo, skaičių apytikslių reikšmių absoliučiųjų paklaidų įvertinimo uždaviniai.
1.3 Laipsniai
Apibendrinama laipsnio sąvoka; apibrėžiama lygybė 𝑎^(𝑚/𝑛)= sqrt[n]{𝑎}. Mokomasi ja naudotis, pertvarkant skaitinius reiškinius su šaknimis ir laipsniais. Pagrindžiama, kodėl laipsniams su racionaliaisiais rodikliais (ir veiksmams su tokiais laipsniais) būdingos laipsnių su natūraliaisiais rodikliais savybės: 𝑎^𝑛⋅𝑎^𝑚=𝑎^(𝑛+𝑚), 𝑎^𝑛∶𝑎^𝑚=𝑎^(𝑛–𝑚), (𝑎^𝑚)^𝑛=𝑎^(𝑚⋅𝑛), (𝑎⋅𝑏)^𝑚=𝑎^𝑚⋅𝑏^𝑚, (𝑎∶𝑏)^𝑚=𝑎^𝑚:𝑏^𝑚. Mokomasi skaičiuotuvu rasti laipsnio su racionaliuoju rodikliu dešimtainę apytikslę reikšmę, taikyti laipsnių ir veiksmų su laipsniais savybes skaitiniams reiškiniams pertvarkyti.
1.4 Šaknys
Apibendrinant šaknies sąvoką, pateikiamas n-tojo (𝑛∈𝑁, n > 1) laipsnio šaknies apibrėžimas. Išsiaiškinama, pagrindžiama, kaip iracionalieji skaičiai atidedami skaičių tiesėje. Praktikuojamasi skaičiuotuvu rasti apytikslę duotojo iracionaliojo skaičiaus reikšmę. Aiškinamasi, kad n-tojo (𝑛∈𝑁,𝑛>3) laipsnio šaknims būdingos antrojo ir trečiojo laipsnių šaknų (ir veiksmų su jomis) savybės. Mokomasi šias savybes taikyti, apskaičiuojant skaitinių reiškinių su šaknimis reikšmes, skaičių įkeliant po n-tojo laipsnio šaknimi ir iškeliant jį prieš šaknies ženklą. Mokomasi trupmenos vardiklyje panaikinti iracionalumą, kai vardiklyje yra iracionalieji skaičiai.
Apibrėžiamos sąvokos: skaičiaus logaritmas, dešimtainis logaritmas. Praktikuojamasi skaičiuotuvu rasti apytikslę logaritmo reikšmę. Pateikiama ir skaitiniais pavyzdžiais iliustruojama pagrindinė logaritmų tapatybė. Įrodomos ir pagrindžiamos veiksmų su logaritmais ir logaritmų savybės. Mokomasi šias savybes taikyti, skaičiuojant skaitinių reiškinių su logaritmais reikšmes.
Apibrėžiamas vienetinio apskritimo posūkio kampas, jo sinusas, kosinusas ir tangentas. Praktikuojamasi, naudojantis vienetiniu apskritimu, apskaičiuoti tikslias sinuso, kosinuso, tangento reikšmes, kai posūkio kampas lygus ±0º, ±30º, ±45º, ±60º, ±90º, ±120º, ±135º, ±150º, ±180º, ±210º, ±225º, ±240º, ±270º, ±300º, ±315º, ±330º, ±345º, ±360º. Tuo pačiu metodu parodoma, kad skaičiai sin𝛼sinα ir cos𝛼cosα turi prasmę su visoms 𝛼 realiosioms reikšmėms, kodėl sin𝛼sinα ir cos𝛼cosα reikšmės kartojasi kas 180º ir visuomet priklauso intervalui [-1;1]. Aptariama, kodėl tg𝛼 reikšmės yra intervalo (−∞;+∞) skaičiai ir kodėl jos kartojasi kas 180°. Įrodomos formulės: sin(−𝛼)=−sin𝛼,cos(−𝛼)=cos𝛼,tg(−𝛼)=−tg𝛼sin(−α)=−sinα,cos(−α)=cosα,tg(−α)=−tgα, sin(𝛼+360°𝑘)=sin𝛼cos(𝛼+360°𝑘)=cos𝛼, tg(𝛼+180°𝑘)=tg𝛼,𝑘∈𝑍;sin(α+360°k)=sinαcos(α+360°k)=cosα, tg(α+180°k)=tgα,k∈Z; mokomasi jas taikyti. Apibrėžiami skaičiai arcsin a ir arccos a, pagrindžiant, kodėl arcsin 𝑎∈[−90°;90°], arccos 𝑎∈[0;180°], o arksinusas ir arkkosinusas turi prasmę tik intervale [−1;1]. Apibrėžiamas skaičius arctg a, pagrindžiant, kodėl arctg 𝑎∈(−90°;90°), o arktangentas turi prasmę visoje realiųjų skaičių aibėje. Praktikuojamasi apskaičiuoti tikslias ir apytiksles sinuso, kosinuso, tangento ir arksinuso, arkkosinuso, arktangento reikšmes.
2. MODELIAI IR SĄRYŠIAI
Apibrėžiama, kokios skaičių sekos vadinamos aritmetinėmis progresijomis ir kokios geometrinėmis progresijomis. Apibrėžiamos pirmojo skaičių sekos nario, n-tojo skaičių sekos nario, begalinės skaičių sekos, baigtinės skaičių sekos, aritmetinės progresijos skirtumo, geometrinės progresijos vardiklio sąvokos. Randami sekos narys rekurentiniu būdu. Praktikuojamasi nustatyti ir pagrįsti, ar seka yra aritmetinė progresija, geometrinė progresija. Įrodomos ir įvairiems uždaviniams spręsti taikomos aritmetinės progresijos ir geometrinės progresijos n-tojo nario formulės, pirmųjų n narių sumos formulės: Atliekami kūrybiniai projektiniai darbai (pavyzdžiui, Kocho snaigė, vėžlio ir bėgiko problema).
2.2 Funkcijos
Funkcijos samprata. Plėtojama samprata apie funkcijas ir jų savybes. Apibrėžiamos sąvokos: lyginė funkcija; nelyginė funkcija; nei lyginė, nei nelyginė funkcija; periodinė funkcija. Nagrinėjant pavyzdžius, išsiaiškinama, kaip taikyti šiuos apibrėžimus, sprendžiant uždavinius, ir kaip pagal grafiką nustatyti funkcijos lyginumą, periodiškumą. Aptariama funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥),𝑥∈𝐷(𝑓), grafiko transformacijos sąvoka. Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, tyrinėjama, kaip atliekamos 𝑦=𝑓(𝑥)+𝑎, 𝑦=𝑓(𝑥+𝑎), 𝑦=−𝑓(𝑥), 𝑦=𝑎⋅𝑓(𝑥) formulėmis aprašomos transformacijos. Atliekami tiriamieji, kūrybiniai darbai apie funkcijas, jų savybes, transformacijas ir jų pasireiškimą įvairaus konteksto situacijose.
Laipsninė ir šaknies funkcijos. Apibrėžiamos ir tiriamos laipsninė funkcija. Išsiaiškinami charakteringi taškai, priklausantys šių funkcijų grafikams, tiriamos funkcijų savybės. Mokomasi atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas. Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos laipsninėmis ir šaknies funkcijomis, pavyzdžiai.
Rodiklinė ir logaritminė funkcijos. Apibrėžiama rodiklinė funkcija, logaritminė funkcija. Išsiaiškinami charakteringi taškai, per kuriuos brėžiami šių funkcijų grafikai, tiriamos funkcijų savybės. Mokomasi atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas. Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos rodiklinėmis ar logaritminėmis funkcijomis, pavyzdžiai.
Trigonometrinės funkcijos. Naudojantis vienetiniu apskritimu, apibrėžiamas bet kokio posūkio kampo (išreikšto laipsniais) sinusas ir kosinusas, o naudojantis tangentų tiese (x = 1), apibrėžiamas tangentas. Braižomi sinusoidės, kosinusoidės ir tangentoidės grafikų eskizai. Išsiaiškinami charakteringi taškai, priklausantys šių funkcijų grafikams, tiriamos funkcijų savybės. Mokomasi atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, rasti nurodytas sąlygas, atitinkančias argumento ir funkcijos reikšmes (pavyzdžiui, didžiausią funkcijos reikšmę nurodytame intervale). Praktikuojamasi, naudojantis grafiko eskizu, užrašyti visas argumento reikšmes, su kuriomis funkcija įgyja tam tikrą reikšmę, didėja ar mažėja, yra teigiama ar neigiama. Mokomasi, pasitelkus grafinį metodą, spręsti sin𝑥=𝑎, cos𝑥=𝑎,tg𝑥=𝑎sinx=a, cosx=a,tgx=a pavidalo lygtis.
2.3 Lygtys
Racionaliosios lygtys. Apibendrinamos, gilinamos ir plečiamos žinios apie racionaliąsias lygtis ir jų sprendimo būdus. Praktikuojamasi grafiškai spręsti lygtis. Pasitelkus pavyzdžius, aiškinamasi, kad tikslius lygties sprendinius gauname, spręsdami algebriškai, o grafiškai dažniausiai gaunami apytiksliai sprendiniai. Mokomasi, sprendžiant tekstinius ar geometrijos uždavinius, sudaryti lygtį, ją išspręsti ir atrinkti uždavinio sąlygą atitinkantį atsakymą.
Iracionaliosios lygtys. Apibrėžiama iracionaliosios lygties sąvoka. Mokomasi spręsti iracionaliąsias lygtis. Analizuojama, kodėl ir kada gautuosius pertvarkytosios lygties sprendinius būtina tikrinti, kodėl tarp pertvarkytosios lygties sprendinių gali atsirasti tokių, kurie nėra duotosios iracionaliosios lygties sprendiniai. Sprendžiami uždaviniai, kai situacijos modeliuojamos iracionaliosiomis lygtimis.
Rodiklinės lygtys. Apibrėžiama rodiklinės lygties sąvoka. Praktikuojamasi rodiklines lygtis spręsti grafiškai. Sprendžiami uždaviniai, kai situacijos modeliuojamos rodikline funkcija.
Logaritminės lygtys. Apibrėžiama logaritminės lygties sąvoka. Mokomasi spręsti logaritmines lygtis. Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį, gautuosius sprendinius tikrinti (juos įrašant į duotąją lygtį). Sprendžiami uždaviniai, kai situacijos modeliuojamos logaritminėmis lygtimis.
Tekstiniai uždaviniai. Apibendrinamos ir gilinamos žinios, sprendžiant įvairias dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas. Lygčių sistemoms spręsti naudojamasi keitimo, sudėties ir sulyginimo būdais. Mokomasi įvairaus konteksto situacijas modeliuoti lygčių sistemomis.
2.4 Nelygybės
Racionaliosios nelygybės. Nagrinėjant kvadratines nelygybes, atskleidžiama intervalų metodo esmė. Paaiškinama, kad intervalų metodą patogu taikyti, sprendžiant ir kitas nelygybes. Apibrėžiama racionaliosios nelygybės sąvoka. Mokomasi spręsti paprastas racionaliąsias nelygybes intervalų metodu. Praktikuojamasi spręsti paprastas tiesinių nelygybių sistemas, kai viena nelygybė yra tiesinė, o kita – kvadratinė arba racionalioji.
Rodiklinės nelygybės. Apibrėžiamos rodiklinės nelygybės. Mokomasi spręsti rodiklines nelygybes.
Logaritminės nelygybės. Apibrėžiamos logaritminės nelygybės. Mokomasi spręsti logaritmines nelygybes. Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį.
Žemiau pateikiama VBE I dalies medžiaga A lygyje (išplėstinis kursas)
1. GEOMETRIJA IR MATAVIMAI
Apibrėžiamas kampas tarp vektorių. Apibrėžiama dviejų vektorių skaliarinė sandauga, mokomasi skaliariškai dauginti vektorius. Įrodoma, kad vektoriaus kvadratas (vektoriaus skaliarinė sandauga su pačiu savimi) yra lygus vektoriaus ilgio kvadratui. Primenama, kaip randama vektorių suma (naudojantis trikampio ir lygiagretainio taisyklėmis; pasakoma daugiakampio taisyklė), vektorių skirtumas, vektoriaus ir skaičiaus sandauga. Mokomasi nurodytą daugiakampio vektorių išreikšti kitais nurodytais to daugiakampio vektoriais. Apibrėžiama ir paaiškinama dviejų vektorių skaliarinė sandauga, mokomasi skaliariškai dauginti vektorius, pabrėžiant, kad skaliarinės sandaugos rezultatas yra skaičius, o ne vektorius. Taikomos vektoriams žinomos veiksmų su skaičiais savybės.
Mokomasi nusakyti vektorių, nurodant jo pradžios ir pabaigos koordinates; apibrėžiant koordinačių plokštumos taško vietos vektorių ir mokantis bet kurį koordinačių plokštumos vektorių išreikšti jam lygiu taško vietos vektoriumi. Mokomasi apskaičiuoti vektoriaus ilgį ir įrodyti vektoriaus ilgio formulę. Mokomasi apskaičiuoti vektorių sumą, skirtumą, sandaugą su skaičiumi bei skaliarinę sandaugą, paaiškinant atliekamų veiksmų prasmingumą. Apibrėžiami koordinačių ašių vienetiniai vektoriai ir mokomasi jais reikšti koordinačių plokštumos vektorius. Apibrėžiami kolinearieji ir statmenieji vektoriai. Analizuojamos dviejų vektorių kolinearumo ir statmenumo sąlygos bei sprendžiami su šiais faktais susiję uždaviniai.
2. SKAIČIAI IR SKAIČIAVIMAI
Veiksmai su skaičių aibėmis. Nagrinėjama realiųjų skaičių aibės struktūra. Pateikiami baigtinių ir begalinių; diskrečiųjų ir tolydžiųjų (intervalų) skaičių aibių pavyzdžiai. Mokomasi reiškiniu užrašyti natūraliųjų skaičių, kuriuos dalijant iš nurodyto natūraliojo skaičiaus d gaunama nurodyta liekana 𝑟(𝑛⋅𝑑+𝑟,𝑛∈𝑁), aibę. Apibrėžiama aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas. Atliekami veiksmai su aibėmis. Praktikuojamasi veiksmus su aibėmis vaizduoti Veno diagramomis.
2.2 Realiojo skaičiaus modulis
Apibrėžiama realiojo skaičiaus modulio sąvoka ir paaiškinama jo geometrinė prasmė. Braižomas 𝑦=∣𝑥∣ grafiko eskizas. Mokomasi užrašyti lygties ∣𝑥∣=𝑎 ir nelygybės ∣𝑥∣⋚𝑎(𝑎∈𝑅) sprendinių aibes. Pavyzdžiais pagrindžiamos modulio (ir veiksmų su moduliais) savybės. Mokomasi apskaičiuoti skaitinių ir raidinių reiškinių su moduliais reikšmes, traukti kvadratinę šaknį iš antrojo laipsnio.
Paklaidos. Apibrėžiamos sąvokos: skaičiaus artinys, absoliučioji artinio paklaida, santykinė artinio paklaida. Sprendžiami apytikslio skaičiavimo, skaičių apytikslių reikšmių absoliučiųjų paklaidų ir santykinių paklaidų įvertinimo uždaviniai.
2.3 Laipsniai
Įrodomos dvinario trečiojo laipsnio formulės (sumos ir skirtumo kubo). Mokomasi naudotis šiomis formulėmis, dvinarį keliant trečiuoju laipsniu ir daugianarį skaidant dauginamaisiais. Apibrėžiama laipsnio su racionaliuoju rodikliu sąvoka. Aiškinamasi, kada (ir kodėl) tokie laipsniai neturi prasmės. Mokomasi nustatyti, tarp kokių gretimų sveikųjų skaičių yra duotasis laipsnis su racionaliuoju rodikliu, palyginti tokius laipsnius. Naudojantis skaičiuotuvu, rasti apytikslę dešimtainę duotojo laipsnio su racionaliuoju rodikliu reikšmę. Pagrindžiama ir įrodoma, kad laipsniams su racionaliaisiais rodikliais (ir veiksmams su tokiais laipsniais) būdingos laipsnių su natūraliaisiais rodikliais (ir veiksmų su jais) savybės. Mokomasi skaičiuotuvu rasti laipsnio reikšmę, taikyti laipsnių su racionaliaisiais rodikliais savybes skaitiniams reiškiniams pertvarkyti.
2.4 Šaknys
Įrodoma, kad skaičius šaknis iš dviejų yra iracionalusis. Apibendrinama šaknies sąvoka, pateikiant n-tojo (n∈N,n>1) laipsnio šaknies apibrėžimą. Aiškinamasi, kada n-tojo laipsnio šaknys turi prasmę. Mokomasi, nesinaudojant skaičiuotuvu, nustatyti, tarp kokių gretimų sveikųjų skaičių yra duotasis iracionalusis skaičius, palyginti tokio pavidalo skaičius; naudojantis skaičiuotuvu, rasti apytikslę dešimtainę duotojo iracionaliojo skaičius reikšmę. Aiškinamasi, kad n-tojo (𝑛∈𝑁,𝑛>3) laipsnio šaknims ir veiksmams su jomis būdingos antrojo ir trečiojo laipsnių šaknų ir veiksmų su jomis savybės. Mokomasi šias savybes pagrįsti, įrodyti ir taikyti skaičiuojant: skaitinių reiškinių su šaknimis reikšmes, naikinant šaknis trupmenos vardiklyje tapačiai pertvarkant raidinius reiškinius su šaknimis.
Apibrėžiama skaičiaus logaritmo sąvoka. Įvedamas iracionalusis skaičius e. Apibrėžiama dešimtainio ir natūraliojo logaritmo sąvoka. Aptariama, kokioms skaičių aibėms priklauso su log ženklu rašomi skaičiai. Mokomasi skaičiuotuvu rasti apytikslę logaritmo reikšmę. Pagrindžiamos logaritmų savybės. Mokomasi šias savybes įrodyti ir taikyti, apskaičiuojant skaitinių reiškinių su logaritmais reikšmes bei pertvarkant raidinius logaritminius reiškinius.
Apibrėžiamas vienetinio apskritimo posūkio kampas, jo sinusas, kosinusas ir tangentas. Aiškinamasi, kad kampų dydžiai gali būti reiškiami ne tik laipsnių skaičiumi, bet ir radianų skaičiumi. Mokomasi laipsnių skaičių keisti radianų skaičiumi ir atvirkščiai – radianų skaičių keisti laipsnių skaičiumi. Praktikuojamasi, naudojantis vienetiniu apskritimu, apskaičiuoti tikslias sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes, kai posūkio kampas lygus ±0°, ±30°, ±45°, ±60°, ±90°, ±120°, ±135°, ±150°, ±180°, ±210°, ±225°, ±240°, ±270°, ±300°, ±315°, ±330°, ±345°, ±360°. Tuo pačiu metodu parodoma, kad skaičiai sin𝛼 ir cos𝛼 turi prasmę su visoms 𝛼 realiosioms reikšmėms, kodėl sin𝛼sinα ir cos𝛼cosα reikšmės kas 360° kartojasi ir visuomet priklauso intervalui [-1:1]. Aptariama, kodėl tangento 𝑡𝑔𝛼tgα reikšmės yra intervalo (−∞;+∞) skaičiai ir kodėl jos kartojasi kas 180°. Įrodomos formulės: sin(−𝛼)=−sin𝛼, cos(−𝛼)=cos𝛼, tg(−𝛼)=−tg𝛼sin(−α)=−sinα, cos(−α)=cosα, tg(−α)=−tgα, sin(𝛼+2𝜋𝑘)=sin𝛼, cos(𝛼+2𝜋𝑘)=cos𝛼, tg(𝛼+𝜋𝑘)=tg𝛼,𝑘∈𝑍.sin(α+2πk)=sinα, cos(α+2πk)=cosα, k∈Z. Mokomasi šias formules taikyti, apskaičiuojant skaitines reikšmes. Apibrėžiami skaičiai arcsin a ir arccos a, pagrindžiant, kodėl arcsin a∈[−2π;2π], arccos 𝑎∈[0;𝜋], o arksinusas ir arkkosinusas turi prasmę tik intervale [-1:1]. Apibrėžiamas skaičius arctg a, pagrindžiant, kodėl arctg 𝑎∈(−𝜋/2;𝜋/2), o arktangentas turi prasmę visoje realiųjų skaičių aibėje. Praktikuojamasi apskaičiuoti tikslias ir apytiksles sinuso, kosinuso, tangento ir arksinuso, arkkosinuso, arktangento reikšmes.
3. MODELIAI IR SĄRYŠIAI
Apibrėžiama, kokios skaičių sekos vadinamos aritmetinėmis progresijomis ir kokios geometrinėmis progresijomis. Apibrėžiamos sąvokos: pirmasis skaičių sekos narys, n-tasis skaičių sekos narys, begalinė skaičių seka, baigtinė skaičių seka, aritmetinės progresijos skirtumas, geometrinės progresijos vardiklis, aritmetinės progresijos n-tojo nario formulė ir geometrinės progresijos n-tojo nario formulė, skaičių sekos rekurentinė formulė. Nagrinėjamos aritmetinės progresijos ir geometrinės progresijos formulės. Įrodomos aritmetinės progresijos ir geometrinės progresijos formulės (n-tojo nario, viduriniojo nario, pirmųjų n narių sumos). Įvedamas sumos ženklas ∑, pateikiant šio ženklo panaudojimo pavyzdžių. Apibrėžiama, kokios geometrinės progresijos vadinamos nykstamosiomis. Nagrinėjant nykstamąją geometrinę progresiją pagrindžiama geometriškai. Nagrinėjant begalinę dešimtainę periodinę trupmeną 0,(9), įsitikinama, kad ją galima užrašyti kaip begalinės nykstamosios geometrinės progresijos sumą. Įrodoma nykstamosios geometrinės progresijos sumos formulė ir mokomasi ja naudotis, sprendžiant uždavinius. Sprendžiami su aritmetine progresija ir geometrine progresija susiję realaus turinio uždaviniai. Atliekami kūrybiniai projektiniai darbai: Kocho snaigė, vėžlio ir bėgiko problema.
3.2 Funkcijos
Funkcijos samprata. Plėtojama samprata apie funkcijas ir jų savybes. Apibrėžiamos sąvokos: lyginė funkcija; nelyginė funkcija; nei lyginė, nei nelyginė funkcija; periodinė funkcija. Nagrinėjant pavyzdžius, išsiaiškinama, kaip taikyti šiuos apibrėžimus, sprendžiant uždavinius, ir kaip pagal grafiką nustatyti funkcijos lyginumą, periodiškumą. Įvedama sudėtinės funkcijos sąvoka, pateikiama tokių funkcijų pavyzdžių, mokomasi iš duotųjų funkcijų sudaryti sudėtines funkcijas. Nagrinėjamos funkcijų grafikų transformacijos ir mokomasi, naudojantis žinomos funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥) grafiku, nubraižyti transformuotos funkcijos grafiką. Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, tyrinėjama, kaip atliekamos tokiomis formulėmis aprašomos transformacijos: 𝑦=𝑓(𝑥)+𝑎, 𝑦=𝑓(𝑥+𝑎), 𝑦=−𝑓(𝑥), 𝑦=𝑎⋅𝑓(𝑥), 𝑦=𝑓(−𝑥), 𝑦=𝑓(𝑎⋅𝑥). Skaitiniais pavyzdžiais aiškinamos, grafiškai iliustruojamos funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥) ribos apibrėžimo srities vidiniame taške (𝑥=𝑎) sąvoka ir ribos, kai 𝑥 reikšmės neaprėžtai didėja, mažėja (𝑥→±∞) sąvoka; pateikiami funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥) atitinkamų reikšmių skirtingo elgesio pavyzdžiai. Nagrinėjamais pavyzdžiais ugdomas intuityvus funkcijos reikšmių artėjimo prie ribos, jos tolydumo taške bei intervale suvokimas. Mokomasi apskaičiuoti ribas. Mokomasi naudotis funkcijų grafikų eskizais, grafiškai sprendžiant lygtis, nelygybes ir dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas.
Laipsninė ir šaknies funkcijos. Tiriamos paprasčiausios natūraliojo laipsnio funkcijos aptariant lyginio ir nelyginio laipsnio funkcijų savybes bei grafikų eskizus; paprasčiausių neigiamo sveikojo laipsnio funkcijų savybes ir grafikų eskizus. Tiriamos funkcijos aptariant lyginio ir nelyginio šaknies laipsnio funkcijų savybes bei grafikų eskizus. Mokomasi užrašyti šaknies funkcijos lygtį, kai yra žinomos grafikui priklausančio taško, nesutampančio su tašku (1:1), koordinatės. Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, nagrinėjama, kaip kinta laipsninės funkcijos grafikas, priklausomai nuo laipsnio rodiklio.
Rodiklinė ir logaritminė funkcijos. Apibrėžiama rodiklinė funkcija Išsiaiškinami charakteringi taškai, tiriamos funkcijų savybės. Mokomasi atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas. Naudojantis šių funkcijų grafikų eskizais, mokoma(si) grafiškai spręsti rodiklines ir logaritmines lygtis ir nelygybes. Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos rodiklinėmis ar logaritminėmis funkcijomis, pavyzdžiai.
Nagrinėjamos pagrindinės trigonometrinės funkcijos 𝑓(𝑥)=sin𝑥, 𝑓(𝑥)=cos𝑥,𝑓(𝑥)=tg𝑥. Braižomi sinusoidės, kosinusoidės ir tangentoidės grafikų eskizai. Mokomasi rasti funkcijos apibrėžimo, reikšmių sritis, vaizduoti funkcijos grafiko eskizą, nustatyti funkcijos lyginumą, nustatyti funkcijos mažiausiąjį teigiamąjį periodą, rasti funkcijos nulius, rasti funkcijos didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmes visoje apibrėžimo srityje ir nurodytame uždarame apibrėžimo srities intervale. Rasti funkcijos apibrėžimo srities reikšmes, kurioms esant funkcijos reikšmės didėja ar mažėja, yra teigiamos ar neigiamos. Mokomasi nustatyti funkcijos savybes. Mokomasi grafiškai spręsti lygtis.
3.4 Lygtys
Racionaliosios lygtys. Įvedama lygties su parametru sąvoka, mokomasi rasti pirmojo ir antrojo laipsnio parametrinių lygčių sprendinius. Nagrinėjamos aukštesnio negu antrojo laipsnio lygtys, kurias galima spręsti, suteikiant pavidalą t. y. lygties 𝑓(𝑥)=0 reiškinį 𝑓(𝑥) skaidant dauginamaisiais. Sprendžiamos bikvadratinės lygtys. Mokoma(si) spręsti lygtis, suteikiant pavidalą 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)=0. Aptariama, kad trupmeninę racionaliąją lygtį galima spręsti, naikinant vardiklius, t. y. ją dauginant iš lygtį sudarančių trupmenų bendrojo vardiklio. Analizuojama, kuo šie abu būdai skiriasi.
Iracionaliosios lygtys. Apibrėžiama iracionaliosios lygties sąvoka. Nagrinėjamos iracionaliosios lygtys, kurių nežinomasis yra po kvadratinės šaknies ženklu (iracionaliosios lygtys), kurioms galima suteikti pavidalą 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥), f(x)=g(x)+a. Analizuojama, kodėl ir kada gautuosius pertvarkytosios lygties sprendinius būtina tikrinti, kodėl tarp pertvarkytosios lygties sprendinių gali atsirasti tokių, kurie nėra duotosios iracionaliosios lygties sprendiniai. Mokomasi spręsti nesudėtingas iracionaliąsias lygtis.
Rodiklinės lygtys. Nagrinėjamos nesudėtingos lygtys, kurių nežinomasis yra laipsnio (laipsnių) rodiklyje (rodikliuose). Aiškinamasi, kad tokias lygtis patogu spręsti. Mokoma(si) spręsti rodiklines lygtis, kurias patogu spręsti, įvedant naują nežinomąjį.
Logaritminės lygtys. Nagrinėjamos nesudėtingos lygtys, kurių nežinomasis yra logaritmo (-ų) reiškinyje (-iuose). Aiškinamasi, kad tokias lygtis patogu spręsti. Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį, gautuosius sprendinius tikrinti (juos įrašant į duotąją lygtį). Nagrinėjamos nesudėtingos logaritminės lygtys, kurių nežinomasis yra logaritmo (-ų) pagrindo reiškinyje (-iuose), logaritmo reiškinyje ir logaritmo pagrindo reiškinyje. Mokoma(si) spręsti logaritmines lygtis, kurias patogu spręsti, įvedant naują nežinomąjį.
Lygtys su moduliais. Nagrinėjamos nesudėtingos lygtys su moduliais, kurioms galima suteikti pavidalą ∣𝑓(𝑥)∣=𝑎, ∣𝑓(𝑥)∣=𝑔(𝑥). Mokoma(si) tokias lygtis spręsti, naudojantis modulio apibrėžimu.
Lygčių sistemos. Tekstiniai uždaviniai. Aiškinamasi, kad lygtyje gali būti ir daugiau negu vienas nežinomasis. Pateikiama tokių lygčių su dviem nežinomaisiais pavyzdžių: 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0,a,b,c∈R, – tiesės lygtis; (𝑥−𝑎)^2+(𝑦−𝑏)^2=𝑟^2 – apskritimo lygtis
(a,b – apskritimo centro koordinatės, r – apskritimo spindulio ilgis); mokomasi rasti ir užrašyti tokios lygties kelis sprendinius bei visų sprendinių aibę. Mokoma(si) spręsti daugiau negu dviejų lygčių su daugiau negu dviem nežinomaisiais sistemas. Nagrinėjami ir sprendžiami tekstiniai uždaviniai, kuriuos sprendžiant gaunamos tokios sistemos.
3.5 Nelygybės
Racionaliosios nelygybės. Aiškinamasi intervalų metodo esmė ir universalumas. Nagrinėjamos antrojo laipsnio, aukštesnio negu antrojo laipsnio nelygybės, praktikuojamasi jas spręsti intervalų metodu. Naudojantis intervalų metodu arba nelygybę keičiant nelygybių sistemų visuma. Mokomasi spręsti dviejų ar daugiau racionaliųjų nelygybių sistemas bei mišrias lygčių ir nelygybių (su vienu nežinomuoju) sistemas.
Rodiklinės nelygybės. Nagrinėjamos nesudėtingos nelygybės, kurių nežinomasis yra laipsnio (laipsnių) rodiklyje (rodikliuose).
Logaritminės nelygybės. Nagrinėjamos nesudėtingos nelygybės, kurių nežinomasis yra logaritmo (logaritmų) reiškinyje (reiškiniuose). Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį.
Nelygybės su moduliais. Nagrinėjamos nesudėtingos nelygybės su moduliais. Mokomasi tokias nelygybes spręsti, naudojantis modulio apibrėžimu, intervalų metodu.
Kontroliniai darbai –> suskirstyta pagal temas.
Matematikos pamokos 