1. MODELIAI IR SĄRYŠIAI
- 1.2 Funkcijos išvestinė
Analizuojama tolydžiosios funkcijos visuose funkcijos apibrėžimo srities intervaluose samprata. Formuluojami teiginiai apie tolydžių funkcijų sumos (skirtumo), sandaugos ir dalmens tolydumą. Apibrėžiama tolydžios funkcijos ribos samprata, kai funkcijos argumento reikšmės artėja prie duotosios reikšmės ir kai funkcijos argumento reikšmės tolsta į begalybę (±∞). Formuluojamos ir aiškinamos funkcijų ribų skaičiavimo taisyklės (ribų savybės): funkcijų sumos (skirtumo), sandaugos ir dalmens; funkcijos nepriklausomojo kintamojo (argumento) pokytis ir priklausomojo kintamojo (funkcijos reikšmės) pokytis bei šių pokyčių santykis; tolydžios funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥) grafiko liestinės, nubrėžtos per grafiko tašką (𝑎;𝑓(𝑎)), sąvoka. Pateikiamas funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥) išvestinės taške 𝑥=𝑎 apibrėžimas; išvestinės funkcijos 𝑦=𝑓′(𝑥) apibrėžimas; grafiko liestinės (𝑦=𝑘𝑥+𝑏), einančios per grafiko tašką, kuriame 𝑥=𝑎, krypties koeficiento ir funkcijos išvestinės taške 𝑥=𝑎 ryšys (𝑘=𝑓′(𝑎)); išvedama liestinės lygtis. Naudojantis funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥) išvestinės funkcijos 𝑦=𝑓′(𝑥) apibrėžimu, mokomasi rasti tiesinės 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑏 ir kvadratinės 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐 funkcijų išvestines ir funkcijos grafiko liestinių, nubrėžtų per grafiko tašką (𝑎;𝑓(𝑎)), lygtis. Nagrinėjant judėjimus (pastoviu greičiu ir su pagreičiu), aptariama funkcijos išvestinės fizikinė prasmė.
Naudojantis funkcijos išvestinės apibrėžimu, įsitikinama, kad skaičiaus (konstantos) išvestinė lygi 0, t. y. 𝑐′=0. Skaičiaus ir funkcijos sandaugos išvestinė lygi skaičiaus ir funkcijos išvestinės sandaugai, t. y. (𝑐⋅𝑓(𝑥))′=𝑐⋅𝑓′(𝑥). Funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė lygi funkcijų išvestinių sumai (skirtumui), t. y. (𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥))′=𝑓′(𝑥)±𝑔′(𝑥). Funkcijų sandaugos išvestinė: (𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥))′=𝑓′(𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑔′(𝑥)⋅𝑓(𝑥). Funkcijų dalmens išvestinė lygi (𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥))′=(𝑓′(𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑔′(𝑥)⋅𝑓(𝑥))/𝑔^2(𝑥). Sudėtinės funkcijos išvestinė lygi (𝑓(𝑔(𝑥)))′=𝑓′(𝑔(𝑥))⋅𝑔′(𝑥). (Ši formulė pateikiama be įrodymo.) Laipsnio išvestinė. Eksponentinės funkcijos išvestinė. Rodiklinės funkcijos išvestinė. Natūraliojo logaritmo funkcijos išvestinė. Logaritminės funkcijos išvestinė. Nagrinėjama riba lim𝑥→0(sin𝑥/𝑥)=1 ir įsitikinama, kad (sin 𝑥)′=cos 𝑥, (cos 𝑥)′=−sin 𝑥,(tg 𝑥)′=1/cos^2𝑥. Naudojantis išvestinių skaičiavimo taisyklėmis ir formulėmis, mokomasi apskaičiuoti įvairių reiškinių ir funkcijų išvestines.
Funkcijos savybių tyrimas, naudojantis išvestine. Apibrėžiamos sąvokos: kritinis taškas, ekstremumo taškas, funkcijos ekstremumas, grafiko kritinis taškas, grafiko ekstremumo taškas. Mokomasi, naudojantis funkcijos išvestine, apskaičiuoti funkcijos didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmes uždarame intervale. Braižomas ne aukštesnio kaip ketvirtojo laipsnio funkcijos grafiko (𝑦=𝑎𝑥^4+𝑏𝑥^3+𝑐𝑥^2+𝑑𝑥+𝑒) 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒∈𝑅) eskizas. Apibrėžiamos sąvokos: funkcijos argumento diferencialas, funkcijos diferencialas. Naudojantis išvestine, sprendžiami optimizavimo uždaviniai.
- 1.3 Pirmykštė funkcija ir integralas
Neapibrėžtinis integralas. Apibrėžiama funkcijos pirmykštė funkcija. Paaiškinama, kad funkcija turi be galo daug pirmykščių funkcijų, o visa jų šeima užrašoma neapibrėžtinio integralo ženklu. Įrodomos pirmykščių funkcijų savybės (funkcijų sumos pirmykštės funkcijos, konstantos ir funkcijos sandaugos pirmykštės, 𝑓(𝑎𝑥+𝑏) pirmykštės funkcijos formulės). Mokomasi jomis naudotis.
Apibrėžtinis integralas. Apibrėžiama kreivinės trapecijos (figūros koordinačių plokštumoje, apribotos iš viršaus neneigiamos funkcijos grafiku intervale [𝑎;𝑏], abscisių ašimi ir tiesėmis 𝑥=𝑎,𝑥=𝑏) sąvoka. Aiškinamasi, kad kreivinės trapecijos plotas nedaug skiriasi nuo ploto figūros, kuri sudaryta iš stačiakampių, kurių pagrindai yra intervalai, gauti padalijus intervalą [𝑎;𝑏] į daug lygių dalių, o kitų kraštinių ilgiai lygūs funkcijos reikšmėms dalijimo taškuose. Sudaromas šios figūros ploto reiškinys (integralinė suma), aiškinamasi, kad intervalų skaičiui augant, šių reiškinių reikšmės artėja prie skaičiaus, kuris vadinamas funkcijos apibrėžtiniu integralu intervale [𝑎;𝑏]. Jo reikšmė yra kreivinės trapecijos plotas. Paaiškinama, kad integralines sumas galima sudaryti ir nebūtinai neneigiamoms tolydžioms funkcijoms. Ribinė jų reikšmė vadinama funkcijos apibrėžtiniu integralu intervale [𝑎;𝑏]. Pateikiamos ir paaiškinamos apibrėžtinio integralo savybės.
Integralų taikymai. Pateikiama ir paaiškinama Niutono-Leibnico formulė ir mokomasi ją taikyti, sprendžiant uždavinius, susijusius su kreivinių trapecijų plotais. Pateikiama formulė, kuri naudojama, skaičiuojant sukinio tūrį, gauto sukant kreivę apie 𝑂𝑥 ašį. Sprendžiami įvairaus konteksto integralų taikymo uždaviniai.
2. GEOMETRIJA IR MATAVIMAI
- 2.1 Tiesės, plokštumos, kampai erdvėje
Mokomasi stereometrijos aksiomų: per bet kuriuos du taškus eina vienintelė tiesė; per bet kuriuos tris taškus, nesančius vienoje tiesėje, eina vienintelė plokštuma; jei du tiesės taškai priklauso plokštumai, tai ir tiesė priklauso plokštumai; jei dvi plokštumos turi bendrą tašką, tai jos turi ir bendrą tiesę, kurioje yra visi bendrieji tų plokštumų taškai. Mokomasi įrodyti teoremas: per tiesę ir jai nepriklausantį tašką eina vienintelė plokštuma; per dvi susikertančias tieses eina vienintelė plokštuma; per dvi lygiagrečias tieses eina vienintelė plokštuma. Aptariamos erdvės tiesių ir plokštumų tarpusavio padėtys: erdvės tiesės gali sutapti, kirstis, būti lygiagrečios, prasilenkiančios; plokštumos gali sutapti, būti lygiagrečios, susikertančios; plokštuma ir tiesė gali būti lygiagrečios, tiesė gali kirsti plokštumą, priklausyti plokštumai. Nagrinėjami atstumai ir kampai erdvėje: atstumai tarp dviejų taškų, taško ir tiesės, taško ir plokštumos, dviejų lygiagrečių ir prasilenkiančių tiesių, tiesės ir su ja lygiagrečios plokštumos, dviejų lygiagrečių plokštumų; kampai tarp susikertančių ir tarp prasilenkiančių tiesių, tarp tiesės ir plokštumos. Apibrėžiamas dvisienis kampas, mokomasi jį rasti bei pavaizduoti brėžinyje. Apibrėžiama, kokia tiesė vadinama statmeniu plokštumai, įrodomas tiesės ir plokštumos statmenumo požymis. Apibrėžiama pasviroji plokštumai ir jos statmenoji projekcija plokštumoje. Įrodomas tiesės ir plokštumos lygiagretumo požymis. Įrodomos trijų statmenų ir jai atvirkštinė teoremos. Nagrinėjami ir braižomi stereometrijos brėžiniai bei sprendžiami įvairūs uždaviniai.
- 2.2 Briaunainiai ir sukiniai
Klasifikuojami erdviniai kūnai. Briaunainiai: stačiosios prizmės; piramidės (netaisyklingosios ir taisyklingosios), nupjautinės piramidės. Sukiniai: ritiniai, kūgiai, nupjautiniai kūgiai, sferos, rutuliai ir rutulių nuopjovos. Mokomasi šiuos erdvinius kūnus vaizduoti ir atpažinti. Apibrėžiamos su erdviniais kūnais susijusios sąvokos: šoninis ir visas paviršius, pagrindas, aukštinė, apotema, sudaromoji, gretasienio įstrižainė; sukinių ašiniai pjūviai, kūgio, ritinio, piramidės pjūviai plokštumomis, lygiagrečiomis su pagrindais; taisyklingosios piramidės pjūviai, einantys per piramidės aukštinę; rutulio pjūviai; gretasienio pjūviai, einantys per gretasienio priešingas briaunas. Mokomasi apskaičiuoti erdvinių kūnų paviršių plotus ir tūrius, jų pjūvių plotus, perimetrus ir atskirus elementus. Sprendžiami įvairūs su briaunainiais ir sukiniais susiję uždaviniai.
3. DUOMENYS IR TIKIMYBĖS
- 3.1 Įvadas į statistinę duomenų analizę
Nagrinėdami straipsnius apie mokslo pasiekimus, statistikos ir technologijų vaidmenį šiuolaikiniame pasaulyje, mokiniai sužino, kad funkcijos gali būti naudojamos ir duomenims apibūdinti, o jei duomenys susiję tiesiniu ryšiu, tai tas ryšys gali būti modeliuojamas tiese (regresijos tiese), o jo stiprumas ir kryptis išreikšti koreliacijos koeficientu. Visas naujas sąvokas mokiniai išsiaiškina, nagrinėdami konkrečius pavyzdžius, o reikiamai skaitinei informacijai gauti pasitelkia skaitmenines technologijas. Mokiniai išsiaiškina, kad statistinės analizės (regresinė analizė yra viena iš jos dalių) tikslas – ištyrus dalį respondentų (imtį), padaryti išvadą apie visą populiaciją. Mokomasi praktiškai, naudojantis skaitmeninėmis technologijomis, apskaičiuoti duomenų rinkinio imties vidurkį, standartinį nuokrypį, interpretuoti, kaip jie charakterizuoja imtį. Nagrinėjami pavyzdžiai, kai sprendimui dėl kintamųjų ryšio ir jo stiprumo priimti naudojama koreliacija (pavyzdžiui, laiko ir pažymių, amžiaus ir atlyginimo, IQ ir darbo kompiuteriu). Atkreipiamas dėmesys, kad koreliacija nepaaiškina priežastingumo. Nagrinėjamos paprasčiausios tipinės situacijos, kai gali būti taikoma tiesinė regresija (pavyzdžiui, ar per egzaminą surinktų balų skaičius priklauso nuo socialinio statuso). Išsiaiškinama, kaip priimamas sprendimas, kuris kintamasis vadinamas priklausomu kintamuoju, o kuris – aiškinamuoju (regresoriumi). Naudojantis skaičiuoklės programa, demonstruojama, kaip atrodo grafinis duomenų rinkinio vaizdas („taškų debesėlis“). Nagrinėjama problema – ar įmanoma šiuos duomenis aprašyti modeliu (tiese). Išsiaiškinama, kad svarbiausia šio modelio (tiesės) charakteristika – determinacijos koeficientas (R kvadratas) ir mokomasi, jį žinant (suradus), priimti sprendimą dėl gauto modelio tinkamumo duomenims aprašyti.
Kritiškai peržiūrėdami statistinių duomenų naudojimą viešojoje žiniasklaidoje ir įvairiose ataskaitose, mokiniai mokosi diskutuoti apie tyrimo struktūrą, duomenų rinkimo sąlygas ir būdą, duomenų analizei taikytus metodus, duomenų santraukas ir padarytas išvadas.
- 3.2 Rinkiniai, kėliniai, deriniai, gretiniai
Nagrinėjami elementų rinkiniai, kurie sudaromi, elementus imant iš vienos aibės, dviejų ar daugiau aibių. Aiškinamasi, kuo skiriasi tokie galimi sudaryti rinkiniai (elementais, elementų tvarka), kaip, naudojantis kombinatorikos daugybos taisykle, galima apskaičiuoti sudaromų rinkinių skaičių (pavyzdžiais iliustruojama kombinatorikos sudėties taisyklė). Apibrėžiamos sąvokos: kėliniai, gretiniai ir deriniai; pateikiamos ir pagrindžiamos jų skaičių radimo formulės, pastebint šių formulių tarpusavio ryšį. Pateikiami ir nagrinėjami derinių skaičiaus formulės taikymai – Bernulio bandymų formulėje, Niutono binomo formulėje. Sprendžiant kombinatorikos uždavinius (nustatant rinkinių skaičių), mokomasi naudotis galimybių medžiais, galimybių lentelėmis ar kitaip surašyti reikiamus rinkinius.
- 3.3 Klasikiniai ir neklasikiniai tikimybiniai modeliai
Analizuojama, kuo tikimybių teorija yra reikšminga kasdieniame gyvenime. Plėtojama medžiaga, susijusi su klasikiniais (kai visų bandymo baigčių tikimybės yra vienodos) ir neklasikiniais (kai ne visų bandymo baigčių tikimybės yra vienodos) tikimybiniais bandymais. Analizuojamos sąvokos: klasikinis ir neklasikinis tikimybiniai bandymai, bandymo baigtis (elementarusis įvykis), bandymo įvykis, įvykiui palankios ar nepalankios baigtys, būtinasis įvykis, negalimasis įvykis, nesutaikomieji įvykiai, sutaikomieji įvykiai, nepriklausomieji įvykiai, priklausomieji įvykiai, bandymo baigties ar įvykio tikimybė, tikimybių savybės, Bernulio (binominiai) bandymai. Mokomasi pagrįsti pavyzdžiais ir įrodyti tikimybių savybes: būtinojo įvykio, negalimojo įvykio, vienas kitam priešingųjų įvykių, visų elementariųjų įvykių sumos, nesutaikomųjų įvykių, nepriklausomųjų įvykių, sutaikomųjų įvykių. Sprendžiant uždavinius, mokomasi apskaičiuoti: bandymo baigties ar įvykio tikimybę, ją nurodyti intervalo [0;1] skaičiumi ir procentais; tikimybę, kad atliekant bandymą įvyks kuris nors iš dviejų nesutaikomųjų įvykių; tikimybę, kad atliekant bandymą įvyks abu tarpusavyje nepriklausomieji įvykiai; tikimybę, kad atliekant bandymą įvyks kuris nors iš dviejų sutaikomųjų įvykių; su Bernulio bandymais susijusias tikimybes.
- 3.4 Atsitiktiniai dydžiai
Įvedamos atsitiktinio dydžio ir jo skirstinio sąvokos; pateikiama atsitiktinių dydžių ir jų skirstinių pavyzdžių. Mokomasi sudaryti atsitiktinio dydžio skirstinio lentelę, apskaičiuoti jo matematinę viltį (atsitiktinio dydžio vidurkį), standartinį nuokrypį ir dispersiją. Analizuojamos šios skaitinės charakteristikos. Aptariama, kaip grafiškai atrodo normalusis (Gauso) skirstinys, kokios savybės jam būdingos. Nagrinėjami realių atsitiktinių dydžių, kurių skirstinys yra normalusis, pavyzdžiai.
Kontroliniai darbai –> suskirstyta pagal temas.
Matematikos pamokos 