III GIMNAZIJOS KLASĖ (IŠPLĖSTINIS KURSAS) – KĄ REIKIA IŠMOKTI

Publikuota parašė Matematikos korepetitorius Nerijus in OCTAHEDRON

1. GEOMETRIJA IR MATAVIMAI

Apibrėžiamas kampas tarp vektorių. Apibrėžiama dviejų vektorių skaliarinė sandauga, mokomasi skaliariškai dauginti vektorius. Įrodoma, kad vektoriaus kvadratas (vektoriaus skaliarinė sandauga su pačiu savimi) yra lygus vektoriaus ilgio kvadratui. Primenama, kaip randama vektorių suma (naudojantis trikampio ir lygiagretainio taisyklėmis; pasakoma daugiakampio taisyklė), vektorių skirtumas, vektoriaus ir skaičiaus sandauga. Mokomasi nurodytą daugiakampio vektorių išreikšti kitais nurodytais to daugiakampio vektoriais. Apibrėžiama ir paaiškinama dviejų vektorių skaliarinė sandauga, mokomasi skaliariškai dauginti vektorius, pabrėžiant, kad skaliarinės sandaugos rezultatas yra skaičius, o ne vektorius. Taikomos vektoriams  žinomos  veiksmų  su  skaičiais  savybės.

Mokomasi nusakyti vektorių, nurodant jo pradžios ir pabaigos koordinates; apibrėžiant koordinačių plokštumos taško vietos vektorių ir mokantis bet kurį koordinačių plokštumos vektorių išreikšti jam lygiu taško vietos vektoriumi. Mokomasi apskaičiuoti vektoriaus ilgį ir įrodyti vektoriaus ilgio formulę. Mokomasi apskaičiuoti vektorių sumą, skirtumą, sandaugą su skaičiumi bei skaliarinę sandaugą, paaiškinant atliekamų veiksmų prasmingumą. Apibrėžiami koordinačių ašių vienetiniai vektoriai ir mokomasi jais reikšti koordinačių plokštumos vektorius. Apibrėžiami kolinearieji ir statmenieji vektoriai. Analizuojamos dviejų vektorių kolinearumo ir statmenumo sąlygos bei sprendžiami su šiais faktais susiję uždaviniai.

2. SKAIČIAI IR SKAIČIAVIMAI

Veiksmai su skaičių aibėmis. Nagrinėjama realiųjų skaičių aibės struktūra. Pateikiami baigtinių ir begalinių; diskrečiųjų ir tolydžiųjų (intervalų) skaičių aibių pavyzdžiai. Mokomasi reiškiniu užrašyti natūraliųjų skaičių, kuriuos dalijant iš nurodyto natūraliojo skaičiaus d gaunama nurodyta liekana  𝑟(𝑛⋅𝑑+𝑟,𝑛∈𝑁), aibę. Apibrėžiama aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas. Atliekami veiksmai su aibėmis. Praktikuojamasi veiksmus su aibėmis vaizduoti Veno – Oilerio diagramomis.

  • 2.2 Realiojo skaičiaus modulis

Apibrėžiama realiojo skaičiaus modulio sąvoka ir paaiškinama jo geometrinė prasmė. Braižomas 𝑦 = ∣𝑥∣ grafiko eskizas. Mokomasi užrašyti lygties ∣𝑥∣=𝑎 ir nelygybės ∣𝑥∣>𝑎, ∣𝑥∣<𝑎 (𝑎∈𝑅) sprendinių aibes. Pavyzdžiais pagrindžiamos modulio (ir veiksmų su moduliais) savybės. Mokomasi apskaičiuoti skaitinių ir raidinių reiškinių su moduliais reikšmes, traukti kvadratinę šaknį iš antrojo laipsnio.

  • 2.3 Laipsniai ir reiškiniai

Įrodomos dvinario trečiojo laipsnio formulės (sumos ir skirtumo kubo). Mokomasi naudotis šiomis formulėmis, dvinarį keliant trečiuoju laipsniu ir daugianarį skaidant dauginamaisiais. Apibrėžiama laipsnio su racionaliuoju rodikliu sąvoka. Aiškinamasi, kada (ir kodėl) tokie laipsniai neturi prasmės. Mokomasi nustatyti, tarp kokių gretimų sveikųjų skaičių yra duotasis laipsnis su racionaliuoju rodikliu, palyginti tokius laipsnius. Naudojantis skaičiuotuvu, rasti apytikslę dešimtainę duotojo laipsnio su racionaliuoju rodikliu reikšmę. Pagrindžiama ir įrodoma, kad laipsniams su racionaliaisiais rodikliais (ir veiksmams su tokiais laipsniais) būdingos laipsnių su natūraliaisiais rodikliais (ir veiksmų su jais) savybės. Mokomasi skaičiuotuvu rasti laipsnio reikšmę, taikyti laipsnių su racionaliaisiais rodikliais savybes skaitiniams reiškiniams pertvarkyti.

  •  2.4 Šaknys ir reiškiniai

Įrodoma, kad skaičius šaknis iš dviejų yra iracionalusis. Apibendrinama šaknies sąvoka, pateikiant n-tojo (n∈N,n>1) laipsnio šaknies apibrėžimą. Aiškinamasi, kada n-tojo laipsnio šaknys turi prasmę. Mokomasi, nesinaudojant skaičiuotuvu, nustatyti, tarp kokių gretimų sveikųjų skaičių yra duotasis iracionalusis skaičius, palyginti tokio pavidalo skaičius; naudojantis skaičiuotuvu, rasti apytikslę dešimtainę duotojo iracionaliojo skaičius reikšmę. Aiškinamasi, kad n-tojo (𝑛∈𝑁,𝑛>3) laipsnio šaknims ir veiksmams su jomis būdingos antrojo ir trečiojo laipsnių šaknų ir veiksmų su jomis savybės. Mokomasi šias savybes pagrįsti, įrodyti ir taikyti skaičiuojant: skaitinių reiškinių su šaknimis reikšmes, naikinant šaknis trupmenos vardiklyje tapačiai pertvarkant raidinius reiškinius su šaknimis.

Apibrėžiama skaičiaus logaritmo sąvoka. Įvedamas iracionalusis skaičius e. Apibrėžiama dešimtainio ir natūraliojo logaritmo sąvoka. Aptariama, kokioms skaičių aibėms priklauso su log ženklu rašomi skaičiai. Mokomasi skaičiuotuvu rasti apytikslę logaritmo reikšmę. Pagrindžiamos logaritmų savybės. Mokomasi šias savybes įrodyti ir taikyti, apskaičiuojant skaitinių reiškinių su logaritmais reikšmes bei pertvarkant raidinius logaritminius reiškinius.

Apibrėžiamas vienetinio apskritimo posūkio kampas, jo sinusas, kosinusas ir tangentas. Aiškinamasi, kad kampų dydžiai gali būti reiškiami ne tik laipsnių skaičiumi, bet ir radianų skaičiumi. Mokomasi laipsnių skaičių keisti radianų skaičiumi ir atvirkščiai – radianų skaičių keisti laipsnių skaičiumi. Praktikuojamasi, naudojantis vienetiniu apskritimu, apskaičiuoti tikslias sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes, kai posūkio kampas lygus ±0°, ±30°, ±45°, ±60°, ±90°, ±120°, ±135°, ±150°, ±180°, ±210°, ±225°, ±240°, ±270°, ±300°, ±315°, ±330°, ±345°, ±360°. Tuo pačiu metodu parodoma, kad skaičiai sin⁡⁡𝛼 ir cos⁡⁡𝛼 turi prasmę su visoms ⁡𝛼⁡ realiosioms reikšmėms, kodėl  sin⁡⁡𝛼sin⁡α ir cos⁡⁡𝛼cos⁡α reikšmės kas 360° kartojasi ir visuomet priklauso intervalui [-1:1]. Aptariama, kodėl tangento 𝑡𝑔⁡𝛼tg⁡α reikšmės yra intervalo (−∞;+∞) skaičiai ir kodėl jos kartojasi kas 180°. Įrodomos formulės: sin⁡⁡(−𝛼)=−sin⁡⁡𝛼, cos⁡⁡(−𝛼)=cos⁡⁡𝛼, tg⁡⁡(−𝛼)=−tg⁡⁡𝛼sin⁡(−α)=−sin⁡α, cos⁡(−α)=cos⁡α, tg⁡(−α)=−tg⁡α, sin⁡⁡(𝛼+2𝜋𝑘)=sin⁡⁡𝛼, cos⁡⁡(𝛼+2𝜋𝑘)=cos⁡⁡𝛼,  tg⁡⁡(𝛼+𝜋𝑘)=tg⁡⁡𝛼,𝑘∈𝑍.sin⁡(α+2πk)=sin⁡α, cos⁡(α+2πk)=cos⁡α, k∈Z. Mokomasi šias formules taikyti, apskaičiuojant skaitines reikšmes. Apibrėžiami skaičiai arcsin a ir arccos a, pagrindžiant, kodėl arcsin a∈[−2π​;2π​], arccos 𝑎∈[0;𝜋], o arksinusas ir arkkosinusas turi prasmę tik intervale [-1:1]. Apibrėžiamas skaičius arctg a, pagrindžiant, kodėl arctg 𝑎∈(−𝜋/2;𝜋/2), o arktangentas turi prasmę visoje realiųjų skaičių aibėje. Praktikuojamasi apskaičiuoti tikslias ir apytiksles sinuso, kosinuso, tangento ir arksinuso, arkkosinuso, arktangento reikšmes.

3. MODELIAI IR SĄRYŠIAI

Apibrėžiama, kokios skaičių sekos vadinamos aritmetinėmis progresijomis ir kokios geometrinėmis progresijomis. Apibrėžiamos sąvokos: pirmasis skaičių sekos narys, n-tasis skaičių sekos narys, begalinė skaičių seka, baigtinė skaičių seka, aritmetinės progresijos skirtumas, geometrinės progresijos vardiklis, aritmetinės progresijos n-tojo nario formulė ir geometrinės progresijos n-tojo nario formulė, skaičių sekos rekurentinė formulė. Nagrinėjamos aritmetinės progresijos ir geometrinės progresijos formulės. Įrodomos aritmetinės progresijos ir geometrinės progresijos formulės (n-tojo nario, viduriniojo nario, pirmųjų n narių sumos). Įvedamas sumos ženklas ∑, pateikiant šio ženklo panaudojimo pavyzdžių. Apibrėžiama, kokios geometrinės progresijos vadinamos nykstamosiomis. Nagrinėjant nykstamąją geometrinę progresiją  pagrindžiama geometriškai. Nagrinėjant begalinę dešimtainę periodinę trupmeną 0,(9), įsitikinama, kad ją galima užrašyti kaip begalinės nykstamosios geometrinės progresijos sumą. Įrodoma nykstamosios geometrinės progresijos sumos formulė​​ ir mokomasi ja naudotis, sprendžiant uždavinius. Sprendžiami su aritmetine progresija ir geometrine progresija susiję realaus turinio uždaviniai. Atliekami kūrybiniai projektiniai darbai: Kocho snaigė, vėžlio ir bėgiko problema. 

  • 3.2 Funkcijos

Funkcijos samprata. Plėtojama samprata apie funkcijas ir jų savybes. Apibrėžiamos sąvokos: lyginė funkcija; nelyginė funkcija; nei lyginė, nei nelyginė funkcija; periodinė funkcija. Nagrinėjant pavyzdžius, išsiaiškinama, kaip taikyti šiuos apibrėžimus, sprendžiant uždavinius, ir kaip pagal grafiką nustatyti funkcijos lyginumą, periodiškumą. Įvedama sudėtinės funkcijos sąvoka, pateikiama tokių funkcijų pavyzdžių, mokomasi iš duotųjų funkcijų sudaryti sudėtines funkcijas. Nagrinėjamos funkcijų grafikų transformacijos ir mokomasi, naudojantis žinomos funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥) grafiku, nubraižyti transformuotos funkcijos grafiką. Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, tyrinėjama, kaip atliekamos tokiomis formulėmis aprašomos transformacijos: 𝑦=𝑓(𝑥)+𝑎, 𝑦=𝑓(𝑥+𝑎), 𝑦=−𝑓(𝑥), 𝑦=𝑎⋅𝑓(𝑥), 𝑦=𝑓(−𝑥), 𝑦=𝑓(𝑎⋅𝑥). Skaitiniais pavyzdžiais aiškinamos, grafiškai iliustruojamos funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥) ribos apibrėžimo srities vidiniame taške (𝑥=𝑎) sąvoka ir ribos, kai 𝑥 reikšmės neaprėžtai didėja, mažėja (𝑥→±∞) sąvoka; pateikiami funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥) atitinkamų reikšmių skirtingo elgesio pavyzdžiai. Nagrinėjamais pavyzdžiais ugdomas intuityvus funkcijos reikšmių artėjimo prie ribos, jos tolydumo taške bei intervale suvokimas. Mokomasi apskaičiuoti ribas. Mokomasi naudotis funkcijų grafikų eskizais, grafiškai sprendžiant lygtis, nelygybes ir dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas.

Laipsninė ir šaknies funkcijos. Tiriamos paprasčiausios natūraliojo laipsnio funkcijos aptariant lyginio ir nelyginio laipsnio funkcijų savybes bei grafikų eskizus; paprasčiausių neigiamo sveikojo laipsnio funkcijų  savybes ir grafikų eskizus. Tiriamos funkcijos aptariant lyginio ir nelyginio šaknies laipsnio funkcijų savybes bei grafikų eskizus. Mokomasi užrašyti šaknies funkcijos  lygtį, kai yra žinomos grafikui priklausančio taško, nesutampančio su tašku (1:1), koordinatės. Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, nagrinėjama, kaip kinta laipsninės funkcijos grafikas, priklausomai nuo laipsnio rodiklio.

Rodiklinė funkcija. Apibrėžiama rodiklinė funkcija Išsiaiškinami charakteringi taškai, tiriamos funkcijų savybės. Mokomasi atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas. Naudojantis šių funkcijų grafikų eskizais, mokoma(si) grafiškai spręsti rodiklines lygtis ir nelygybes. Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos rodiklinėmis funkcijomis, pavyzdžiai.

Logaritminė funkcija. Mokomasi atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas. Naudojantis šių funkcijų grafikų eskizais, mokoma(si) grafiškai spręsti logaritmines lygtis ir nelygybes. Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos logaritminėmis funkcijomis, pavyzdžiai.

Nagrinėjamos pagrindinės trigonometrinės funkcijos 𝑓(𝑥)=sin⁡⁡𝑥, 𝑓(𝑥)=cos⁡⁡𝑥,𝑓(𝑥)=tg⁡⁡𝑥. Braižomi sinusoidės, kosinusoidės ir tangentoidės grafikų eskizai. Mokomasi rasti funkcijos apibrėžimo, reikšmių sritis, vaizduoti funkcijos grafiko eskizą, nustatyti funkcijos lyginumą, nustatyti funkcijos mažiausiąjį teigiamąjį periodą, rasti funkcijos nulius, rasti funkcijos didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmes visoje apibrėžimo srityje ir nurodytame uždarame apibrėžimo srities intervale. Rasti funkcijos apibrėžimo srities reikšmes, kurioms esant funkcijos reikšmės didėja ar mažėja, yra teigiamos ar neigiamos. Mokomasi nustatyti funkcijos savybes. Mokomasi grafiškai spręsti lygtis.

  • 3.4 Lygtys ir nelygybės

Racionaliosios lygtys ir nelygybės. Įvedama lygties su parametru sąvoka, mokomasi rasti pirmojo ir antrojo laipsnio parametrinių lygčių  sprendinius. Nagrinėjamos aukštesnio negu antrojo laipsnio lygtys, kurias galima spręsti, suteikiant pavidalą t. y. lygties 𝑓(𝑥)=0 reiškinį 𝑓(𝑥) skaidant dauginamaisiais. Sprendžiamos bikvadratinės lygtys. Mokoma(si) spręsti lygtis, suteikiant pavidalą 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)=0. Aptariama, kad trupmeninę racionaliąją lygtį galima spręsti, naikinant vardiklius, t. y. ją dauginant iš lygtį sudarančių trupmenų bendrojo vardiklio. Analizuojama, kuo šie abu būdai skiriasi. Aiškinamasi intervalų metodo esmė ir universalumas. Nagrinėjamos antrojo laipsnio, aukštesnio negu antrojo laipsnio nelygybės, praktikuojamasi jas spręsti intervalų metodu. Naudojantis intervalų metodu arba nelygybę keičiant nelygybių sistemų visuma. Mokomasi spręsti dviejų ar daugiau racionaliųjų nelygybių sistemas bei mišrias lygčių ir nelygybių (su vienu nežinomuoju) sistemas.

Iracionaliosios lygtys ir nelygybės. Apibrėžiama iracionaliosios lygties sąvoka. Nagrinėjamos iracionaliosios lygtys, kurių nežinomasis yra po kvadratinės šaknies ženklu (iracionaliosios lygtys), kurioms galima suteikti pavidalą 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥), f(x)​=g(x)​+a. Analizuojama, kodėl ir kada gautuosius pertvarkytosios lygties sprendinius būtina tikrinti, kodėl tarp pertvarkytosios lygties sprendinių gali atsirasti tokių, kurie nėra duotosios iracionaliosios lygties sprendiniai. Mokomasi spręsti nesudėtingas iracionaliąsias lygtis.

Rodiklinės lygtys ir nelygybės. Nagrinėjamos nesudėtingos lygtys, kurių nežinomasis yra laipsnio (laipsnių) rodiklyje (rodikliuose). Aiškinamasi, kad tokias lygtis patogu spręsti. Mokoma(si) spręsti rodiklines lygtis, kurias patogu spręsti, įvedant naują nežinomąjį. Rodiklinės nelygybės. Nagrinėjamos nesudėtingos nelygybės, kurių nežinomasis yra laipsnio (laipsnių) rodiklyje (rodikliuose).

Logaritminės lygtys ir nelygybės. Nagrinėjamos nesudėtingos lygtys, kurių nežinomasis yra logaritmo (-ų) reiškinyje (-iuose). Aiškinamasi, kad tokias lygtis patogu spręsti. Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį, gautuosius sprendinius tikrinti (juos įrašant į duotąją lygtį). Nagrinėjamos nesudėtingos logaritminės lygtys, kurių nežinomasis yra logaritmo (-ų) pagrindo reiškinyje (-iuose), logaritmo reiškinyje ir logaritmo pagrindo reiškinyje. Mokoma(si) spręsti logaritmines lygtis, kurias patogu spręsti, įvedant naują nežinomąjį.  

Nagrinėjamos nesudėtingos nelygybės, kurių nežinomasis yra logaritmo (logaritmų) reiškinyje (reiškiniuose). Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį.


Lygtys ir nelygybės su moduliais. Nagrinėjamos nesudėtingos lygtys su moduliais, kurioms galima suteikti pavidalą ∣𝑓(𝑥)∣=𝑎, ∣𝑓(𝑥)∣=𝑔(𝑥). Mokoma(si) tokias lygtis spręsti, naudojantis modulio apibrėžimu. Nelygybės su moduliais. Nagrinėjamos nesudėtingos nelygybės su moduliais. Mokomasi tokias nelygybes spręsti, naudojantis modulio apibrėžimu, intervalų metodu.

Lygčių sistemos. Tekstiniai uždaviniai. Aiškinamasi, kad lygtyje gali būti ir daugiau negu vienas nežinomasis. Pateikiama tokių lygčių su dviem nežinomaisiais pavyzdžių: 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0,a,b,c∈R, – tiesės lygtis; (𝑥−𝑎)^2+(𝑦−𝑏)^2=𝑟^2 – apskritimo lygtis 
(a,b – apskritimo centro koordinatės, r – apskritimo spindulio ilgis); mokomasi rasti ir užrašyti tokios lygties kelis sprendinius bei visų sprendinių aibę. Mokoma(si) spręsti daugiau negu dviejų lygčių su daugiau negu dviem nežinomaisiais sistemas. Nagrinėjami ir sprendžiami tekstiniai uždaviniai, kuriuos sprendžiant gaunamos tokios sistemos.

Kontroliniai darbai –> suskirstyta pagal temas.

Parašykite komentarą