III GIMNAZIJOS KLASĖ (BENDRASIS KURSAS) – KĄ REIKIA IŠMOKTI

Publikuota parašė Matematikos korepetitorius Nerijus in OCTAHEDRON

1. SKAIČIAI, VEIKSMAI, REIŠKINIAI

Veiksmai su skaičių aibėmis. Nagrinėjama realiųjų skaičių aibės struktūra. Apibrėžiama aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas. Atliekami veiksmai su aibėmis. Praktikuojamasi veiksmus su aibėmis vaizduoti Veno diagramomis.

1.2 Realiojo skaičiaus modulis

Skaičiaus modulis. Apibrėžiama realiojo skaičiaus modulio sąvoka, paaiškinama jo geometrinė prasmė. Pavyzdžiais pagrindžiamos modulio (ir veiksmų su moduliais) savybės: ∣−𝑎∣=∣𝑎∣, ∣𝑎∣^2=𝑎^2, ∣𝑎−𝑏∣=∣𝑏−𝑎∣, ∣𝑎⋅𝑏∣=∣𝑎∣⋅∣𝑏∣, ∣𝑎∶𝑏∣=∣𝑎∣∶∣𝑏∣. Mokomasi apskaičiuoti skaitinių reiškinių su moduliais reikšmes, traukti kvadratinę šaknį iš antrojo laipsnio: sqrt(𝑎^2)=∣𝑎∣.

Paklaidos. Apibrėžiamos sąvokos: skaičiaus artinys, absoliučioji artinio paklaida. Sprendžiami apytikslio skaičiavimo, skaičių apytikslių reikšmių absoliučiųjų paklaidų įvertinimo uždaviniai. 

  • 1.3 Laipsniai

Apibendrinama laipsnio sąvoka; apibrėžiama lygybė 𝑎^(𝑚/𝑛)= sqrt[n]{𝑎}​. Mokomasi ja naudotis, pertvarkant skaitinius reiškinius su šaknimis ir laipsniais. Pagrindžiama, kodėl laipsniams su racionaliaisiais rodikliais (ir veiksmams su tokiais laipsniais) būdingos laipsnių su natūraliaisiais rodikliais savybės: 𝑎^𝑛⋅𝑎^𝑚=𝑎^(𝑛+𝑚), 𝑎^𝑛∶𝑎^𝑚=𝑎^(𝑛–𝑚), (𝑎^𝑚)^𝑛=𝑎^(𝑚⋅𝑛), (𝑎⋅𝑏)^𝑚=𝑎^𝑚⋅𝑏^𝑚, (𝑎∶𝑏)^𝑚=𝑎^𝑚:𝑏^𝑚. Mokomasi skaičiuotuvu rasti laipsnio su racionaliuoju rodikliu dešimtainę apytikslę reikšmę, taikyti laipsnių ir veiksmų su laipsniais savybes skaitiniams reiškiniams pertvarkyti.

  • 1.4 Šaknys

Apibendrinant šaknies sąvoką, pateikiamas n-tojo (𝑛∈𝑁, n > 1) laipsnio šaknies apibrėžimas. Išsiaiškinama, pagrindžiama, kaip iracionalieji skaičiai atidedami skaičių tiesėje. Praktikuojamasi skaičiuotuvu rasti apytikslę duotojo iracionaliojo skaičiaus reikšmę. Aiškinamasi, kad n-tojo (𝑛∈𝑁,𝑛>3) laipsnio šaknims būdingos antrojo ir trečiojo laipsnių šaknų (ir veiksmų su jomis) savybės. Mokomasi šias savybes taikyti, apskaičiuojant skaitinių reiškinių su šaknimis reikšmes, skaičių įkeliant po n-tojo laipsnio šaknimi ir iškeliant jį prieš šaknies ženklą. Mokomasi trupmenos vardiklyje panaikinti iracionalumą, kai vardiklyje yra iracionalieji skaičiai.

Apibrėžiamos sąvokos: skaičiaus logaritmas, dešimtainis logaritmas. Praktikuojamasi skaičiuotuvu rasti apytikslę logaritmo reikšmę. Pateikiama ir skaitiniais pavyzdžiais iliustruojama pagrindinė logaritmų tapatybė. Įrodomos ir pagrindžiamos veiksmų su logaritmais ir logaritmų savybės. Mokomasi šias savybes taikyti, skaičiuojant skaitinių reiškinių su logaritmais reikšmes.

Apibrėžiamas vienetinio apskritimo posūkio kampas, jo sinusas, kosinusas ir tangentas. Praktikuojamasi, naudojantis vienetiniu apskritimu, apskaičiuoti tikslias sinuso, kosinuso, tangento reikšmes, kai posūkio kampas lygus ±0º, ±30º, ±45º, ±60º, ±90º, ±120º, ±135º, ±150º, ±180º, ±210º, ±225º, ±240º, ±270º, ±300º, ±315º, ±330º, ±345º, ±360º. Tuo pačiu metodu parodoma, kad skaičiai sin⁡⁡𝛼sin⁡α ir cos⁡⁡𝛼cos⁡α turi prasmę su visoms 𝛼 realiosioms reikšmėms, kodėl sin⁡⁡𝛼sin⁡α ir cos⁡⁡𝛼cos⁡α reikšmės kartojasi kas 180º ir visuomet priklauso intervalui [-1;1]. Aptariama, kodėl tg⁡𝛼 reikšmės yra intervalo (−∞;+∞) skaičiai ir kodėl jos kartojasi kas 180°. Įrodomos formulės: sin⁡⁡(−𝛼)=−sin⁡⁡𝛼,cos⁡⁡(−𝛼)=cos⁡⁡𝛼,tg⁡⁡(−𝛼)=−tg⁡⁡𝛼sin⁡(−α)=−sin⁡α,cos⁡(−α)=cos⁡α,tg⁡(−α)=−tg⁡α, sin⁡⁡(𝛼+360°𝑘)=sin⁡⁡𝛼cos⁡⁡(𝛼+360°𝑘)=cos⁡⁡𝛼, tg⁡⁡(𝛼+180°𝑘)=tg⁡⁡𝛼,𝑘∈𝑍;sin⁡(α+360°k)=sin⁡αcos⁡(α+360°k)=cos⁡α, tg⁡(α+180°k)=tg⁡α,k∈Z; mokomasi jas taikyti. Apibrėžiami skaičiai arcsin a ir arccos a, pagrindžiant, kodėl arcsin 𝑎∈[−90°;90°], arccos 𝑎∈[0;180°], o arksinusas ir arkkosinusas turi prasmę tik intervale [−1;1]. Apibrėžiamas skaičius arctg a, pagrindžiant, kodėl arctg 𝑎∈(−90°;90°), o arktangentas turi prasmę visoje realiųjų skaičių aibėje. Praktikuojamasi apskaičiuoti tikslias ir apytiksles sinuso, kosinuso, tangento ir arksinuso, arkkosinuso, arktangento reikšmes.

2. MODELIAI IR SĄRYŠIAI

Apibrėžiama, kokios skaičių sekos vadinamos aritmetinėmis progresijomis ir kokios geometrinėmis progresijomis. Apibrėžiamos pirmojo skaičių sekos nario, n-tojo skaičių sekos nario, begalinės skaičių sekos, baigtinės skaičių sekos, aritmetinės progresijos skirtumo, geometrinės progresijos vardiklio sąvokos. Randami sekos narys rekurentiniu būdu. Praktikuojamasi nustatyti ir pagrįsti, ar seka yra aritmetinė progresija, geometrinė progresija. Įrodomos ir įvairiems uždaviniams spręsti taikomos aritmetinės progresijos ir geometrinės progresijos n-tojo nario formulės, pirmųjų n narių sumos formulės: Atliekami kūrybiniai projektiniai darbai (pavyzdžiui, Kocho snaigė, vėžlio ir bėgiko problema).

  • 2.2 Funkcijos

Funkcijos samprata. Plėtojama samprata apie funkcijas ir jų savybes. Apibrėžiamos sąvokos: lyginė funkcija; nelyginė funkcija; nei lyginė, nei nelyginė funkcija; periodinė funkcija. Nagrinėjant pavyzdžius, išsiaiškinama, kaip taikyti šiuos apibrėžimus, sprendžiant uždavinius, ir kaip pagal grafiką nustatyti funkcijos lyginumą, periodiškumą. Aptariama funkcijos 𝑦=𝑓(𝑥),𝑥∈𝐷(𝑓), grafiko transformacijos sąvoka. Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, tyrinėjama, kaip atliekamos 𝑦=𝑓(𝑥)+𝑎, 𝑦=𝑓(𝑥+𝑎), 𝑦=−𝑓(𝑥), 𝑦=𝑎⋅𝑓(𝑥) formulėmis aprašomos transformacijos. Atliekami tiriamieji, kūrybiniai darbai apie funkcijas, jų savybes, transformacijas ir jų pasireiškimą įvairaus konteksto situacijose.

Laipsninė ir šaknies funkcijos. Apibrėžiamos ir tiriamos laipsninė funkcija. Išsiaiškinami charakteringi taškai, priklausantys šių funkcijų grafikams, tiriamos funkcijų savybės. Mokomasi atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas. Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos laipsninėmis ir šaknies funkcijomis, pavyzdžiai.

Rodiklinė ir logaritminė funkcijos. Apibrėžiama rodiklinė funkcija, logaritminė funkcija. Išsiaiškinami charakteringi taškai, per kuriuos brėžiami šių funkcijų grafikai, tiriamos funkcijų savybės. Mokomasi atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas. Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos rodiklinėmis ar logaritminėmis funkcijomis, pavyzdžiai.

Trigonometrinės funkcijos. Naudojantis vienetiniu apskritimu, apibrėžiamas bet kokio posūkio kampo (išreikšto laipsniais) sinusas ir kosinusas, o naudojantis tangentų tiese (x = 1), apibrėžiamas tangentas. Braižomi sinusoidės, kosinusoidės ir tangentoidės grafikų eskizai. Išsiaiškinami charakteringi taškai, priklausantys šių funkcijų grafikams, tiriamos funkcijų savybės. Mokomasi atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, rasti nurodytas sąlygas, atitinkančias argumento ir funkcijos reikšmes (pavyzdžiui, didžiausią funkcijos reikšmę nurodytame intervale). Praktikuojamasi, naudojantis grafiko eskizu, užrašyti visas argumento reikšmes, su kuriomis funkcija įgyja tam tikrą reikšmę, didėja ar mažėja, yra teigiama ar neigiama. Mokomasi, pasitelkus grafinį metodą, spręsti sin⁡⁡𝑥=𝑎, cos⁡⁡𝑥=𝑎,tg⁡⁡𝑥=𝑎sin⁡x=a, cos⁡x=a,tg⁡x=a pavidalo lygtis.

  • 2.3 Lygtys

Racionaliosios lygtys. Apibendrinamos, gilinamos ir plečiamos žinios apie racionaliąsias lygtis ir jų sprendimo būdus. Praktikuojamasi grafiškai spręsti lygtis. Pasitelkus pavyzdžius, aiškinamasi, kad tikslius lygties sprendinius gauname, spręsdami algebriškai, o grafiškai dažniausiai gaunami apytiksliai sprendiniai. Mokomasi, sprendžiant tekstinius ar geometrijos uždavinius, sudaryti lygtį, ją išspręsti ir atrinkti uždavinio sąlygą atitinkantį atsakymą.

Iracionaliosios lygtys. Apibrėžiama iracionaliosios lygties sąvoka. Mokomasi spręsti iracionaliąsias lygtis. Analizuojama, kodėl ir kada gautuosius pertvarkytosios lygties sprendinius būtina tikrinti, kodėl tarp pertvarkytosios lygties sprendinių gali atsirasti tokių, kurie nėra duotosios iracionaliosios lygties sprendiniai. Sprendžiami uždaviniai, kai situacijos modeliuojamos iracionaliosiomis lygtimis.

Rodiklinės lygtys. Apibrėžiama rodiklinės lygties sąvoka. Praktikuojamasi rodiklines lygtis spręsti grafiškai. Sprendžiami uždaviniai, kai situacijos modeliuojamos rodikline funkcija.

Logaritminės lygtys. Apibrėžiama logaritminės lygties sąvoka. Mokomasi spręsti logaritmines lygtis. Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį, gautuosius sprendinius tikrinti (juos įrašant į duotąją lygtį). Sprendžiami uždaviniai, kai situacijos modeliuojamos logaritminėmis lygtimis.

Tekstiniai uždaviniai. Apibendrinamos ir gilinamos žinios, sprendžiant įvairias dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas. Lygčių sistemoms spręsti naudojamasi keitimo, sudėties ir sulyginimo būdais. Mokomasi įvairaus konteksto situacijas modeliuoti lygčių sistemomis. 

  • 2.4 Nelygybės

Racionaliosios nelygybės. Nagrinėjant kvadratines nelygybes, atskleidžiama intervalų metodo esmė. Paaiškinama, kad intervalų metodą patogu taikyti, sprendžiant ir kitas nelygybes. Apibrėžiama racionaliosios nelygybės sąvoka. Mokomasi spręsti paprastas racionaliąsias nelygybes intervalų metodu. Praktikuojamasi spręsti paprastas tiesinių nelygybių sistemas, kai viena nelygybė yra tiesinė, o kita – kvadratinė arba racionalioji.

Rodiklinės nelygybės. Apibrėžiamos rodiklinės nelygybės. Mokomasi spręsti rodiklines nelygybes.

Logaritminės nelygybės. Apibrėžiamos logaritminės nelygybės. Mokomasi spręsti logaritmines nelygybes. Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį.

Kontroliniai darbai –> suskirstyta pagal temas.

Parašykite komentarą